18. Прямое произведение групп. Теорема о строении конечной абелевой группы.

1) Внутреннее прямое произведение

Пусть   — группа.

Определение: Говорят, что   разлагается во (внутреннее) прямое произведение¹⁾ подгрупп  , если

1. каждый элемент   единственным образом представляется в виде произведения элементов из  :

, где  ;

2. элементы из разных подгрупп перестановочны:

 для любых   и  , если  .

При этом пишут  .

Внешнее прямое произведение

Пусть заданы группы  .

Определение 2. Совокупность последовательностей  , где  , с покомпонентной операцией умножения

,

называется (внешним) прямым произведением²⁾ и обозначается  .

Предложение 1. Множество   с определенной выше операцией умножения является группой.

Отождествляя каждый элемент   с последовательностью  , где   стоит на  -м месте, мы получаем вложение   в  . Образ группы   при этом вложении обозначим также через  , тогда группа   есть (внутреннее) прямое произведение подгрупп  . Обратно, если некоторая группа   разлагается в прямое произведение своих подгрупп  , то отображение  , является изоморфизмом групп.

2) Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.   изоморфно прямой сумме   и   тогда и только тогда, когда  и   взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу   в форме прямой суммы

двумя различными способами:

• Где числа   степени простых

• Где   делит  , которое делит  , и так далее до  .

Например,   может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5:  . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

19. Действие групп на множестве. Теорема Кэли

1) Пусть имеется множество  .

Определение

Группа   действует на  , если любых   и   определено действие элемента   на элемент   (обозначаемое  ), обладающее следующими свойствами:

1. ,

2. Для любых   выполнено  ,

3. Для любого   выполнено  .

Примеры:

• Действие группы на себя. Пусть   — группа с операцией   и множество  . Зададим отображение  , такое что  . Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа   действует на  . Такое действие называется "действие левыми сдвигами".

• Действие сопряжением. Пусть   — группа с операцией   и множество  . Зададим отображение  , такое что  . Все свойства из определения выполнены, следовательно группа   действует на  .

2) В теории групп теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа   изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент   сопоставляется с перестановкой  , задаваемой тождеством   где g — произвольный элемент группы G.

Док-во: Пусть   конечная группа порядка  . Нужно построить изоморфизм с G в подгруппу перестановок  . Для этого достаточно сопоставить каждому элементу g в группе G перестановку элементов самой G (можно идентифицировать перестановку G с перестановкой любого другого множества при помощи взаимно-однозначного соответствия их элементов). Другими словами, нужно построить функцию  , где   является собранием перестановок G. Группу   определяем с помощью умножения слева   (в примере приведённом выше это была операция сложения в  ).

Докажем, что мы получили перестановку. Если  , то  , так как G группа, в частности все её элементы обратимы (существует  ). Кроме того, действие   на элемент группы x равняется   и это равняется   в виду ассоциативности G. Наконец, если   то тогда   и поэтому   является инъективной (1-1).