7. Стратегии применения корреляционного и факторного анализа. Использование прикладных статистических программ (на примере своей научной работы).

Прикладная статистика — наука о методах обработки статистических данных. Методы прикладной статистики активно применяются в технических исследованиях, экономике, теории и практике управления (менеджмента), социологии, медицине, геологии, истории и т. д. С результатами наблюдений, измерений, испытаний, опытов, с их анализом имеют дело специалисты во всех отраслях практической деятельности, почти во всех областях теоретических исследований.

Корреляционный анализ — метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции) между переменными. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков, для установления между ними статистических взаимосвязей.

Цель корреляционного анализа - обеспечить получение некоторой информации об одной переменной с помощью другой переменной. В случаях, когда возможно достижение цели, говорят, что переменные коррелируют. В самом общем виде принятие гипотезы о наличии корреляции означает что изменение значения переменной А, произойдет одновременно с пропорциональным изменением значения Б: если обе переменные растут то корреляция положительная, если одна переменная растёт, а вторая уменьшается корреляция отрицательная.

1. Применение возможно в случае наличия достаточного количества случаев для изучения: для конкретного вида коэффициента корреляции составляет от 25 до 100 пар наблюдений.

2. Второе ограничение вытекает из гипотезы корреляционного анализа (см. выше), в которую заложена линейная зависимость переменных. Во многих случаях, когда достоверно известно, что зависимость существует корреляционный анализ может не дать результатов просто ввиду того, что зависимость не линейна (выражена, например в виде параболы).

3. Сам по себе факт корреляционной зависимости не даёт основания утверждать, какая из переменных предшествует или является причиной изменений, или что переменные вообще причинно связаны между собой, например ввиду действия третьего фактора. (см. Ложная корреляция, ниже).

Ложная корреляция Часто, заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи.

Иллюстрацией этому служит хорошо известный анекдот: если выйти на улицу и измерить у 1000 случайных прохожих размер обуви и IQ, между ними будет обнаружена статистически значимая корреляция. Однако это не значит, что размер ноги влияет на интеллект, так как на наличие этой взаимосвязи скорее всего повлияли такие факторы, как пол и возраст участников исследования.

Коэффициент корреляции — это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до -1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной — минус 1. На графике этому соответствует прямая линия, проходящая через точки пересечения значений каждой пары данных:

В случае если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные полностью независимы друг от друга

Стратегии применения: (???)

1. Наличие минимально необходимого количества данных (для каждого критерия свои ограничения);

2. Подбор критерия для анализа

Факторный анализ ориентирован на объяснение имеющихся между признаками корреляций. Поэтому факторный анализ применяется в более сложных случаях совместного проявления на структуре экспериментальных данных тестируемого и иррелевантного свойств объектов, сопоставимых по степени внутренней согласованности, а также для выделения группы диагностических показателей из общего исходного множества признаков.

Т.е., структура данных (и соответственно структура изучаемой психологической реальности), а также их взаимосвязь выявляется факторным анализом.

Если для обработки данных используется факторный анализ, то существует простое правило: надежные факторные решения можно получить лишь в том случае, когда количество испытуемых не менее чем в 3 раза, превышает число регистрируемых параметров. Кроме того, целесообразно увеличение количества испытуемых по крайней мере на 5—10 % , поскольку часть из них будет «отбракована» в ходе исследования (не поняли инструкцию, не приняли задачу, дали отклоняющиеся результаты).

Анализируются факторные нагрузки по каждому из признаков (они должны быть высокими, чтобы признак (объект) характеризовал фактор), в каждом факторе, в результате получаем набор признаков, которые характеризуют несколько факторов.

Основная модель факторного анализа записывается следующей системой равенств /НалимовВ. В., 1971/

То есть полагается, что значения каждого признака x_i могут быть выражены взвешенной суммой латентных переменных (простых факторов) f_i, количество которых меньше числа исходных признаков, и остаточным членом ε_i с дисперсией σ²(ε_i), действующей только на x_i, который называют специфическим фактором. Коэффициенты l_ij называются нагрузкой i-й переменной на j-й фактор или нагрузкой j-го фактора на i-ю переменную. В самой простой модели факторного анализа считается, что факторы f_j взаимно независимы и их дисперсии равны единице, а случайные величины ε_i тоже независимы друг от друга и от какого-либо фактора f_j. Максимально возможное количество факторов m при заданном числе признаков р определяется неравенством

(р+m)<(р—m)²,

которое должно выполняться, чтобы задача не вырождалась в тривиальную. Данное неравенство получается на основании подсчета степеней свободы, имеющихся в задаче /Лоули Д. и др., 1967/. Сумму квадратов нагрузок в формуле основной модели факторного анализа называют общностью соответствующего признака x_i и чем больше это значение, тем лучше описывается признак x_i выделенными факторами f_j. Общность есть часть дисперсии признака, которую объясняют факторы. В свою очередь, ε²_i показывает, какая часть дисперсии исходного признака остается необъясненной при используемом наборе факторов и данную величину называют специфичностью признака. Таким образом,

Основное соотношение факторного анализа показывает, что коэффициент корреляции любых двух признаков x_i и х_j можно выразить суммой произведения нагрузок некоррелированных факторов

Задачу факторного анализа нельзя решить однозначно. Равенства основной модели факторного анализа не поддаются непосредственной проверке, так как р исходных признаков задается через (р+m) других переменных — простых и специфических факторов. Поэтому представление корреляционной матрицы факторами, как говорят, ее факторизацию, можно произвести бесконечно большим числом способов. Если удалось произвести факторизацию корреляционной матрицы с помощью некоторой матрицы факторных нагрузок F, то любое линейное ортогональное преобразование F (ортогональное вращение) приведет к такой же факторизации /Налимов В. В., 1971/.

Корреляционный и факторный анализ позволяют осуществить такие стат. пакеты как StatSoft Statistica, StatGraph,