3.Поняття про складні відсотки, їх застосування.

Означення: Відсотком (процентом) називається одна сота частина

числа 1%= =0,01.

Приклади: 270%=2,70, 27%=0,27, 4%=0,04, 0,5%=0,005

Щоб перетворити число у відсотки треба помножити дане число на 100.

Щоб перетворити відсотки в число треба поділити число відсотків на 100.

В економіці кошти, які пускають в обіг сприяють отриманню прибутку. В економічній теорії грошова сума, яка сплачується щорічно за користування коштами називається відсотком.

Означення: Відношення даного відсотка певного числа до самого цього числа називається відсотковою ставкою і позначається р.

Означення: Питомою відсотковою ставкою (нормою відсотка) називається відношення

Означення: Якщо певний відсоток деякої грошової суми додається до цієї суми, то говорять про накопичення грошей. Якщо відсоток не нараховується на перший відсоток, що додається до початкового числа, говорять про простий відсоток.

Інакше кажучи, під простими відсотками ми розуміємо випадок – коли сума, що накопичується за рік вилучається і нарахування ведеться з початкової суми.

Нехай К- початкова сума (капітал), і - питома відсоткова ставка, п - кількість років. Сума, яку буде накопичено з урахуванням простих відсотків за п років:

(1)

Нехай на початкове число К нараховується складний відсоток за певною нормою протягом п років. Тоді дістанемо таку послідовність сум:

після 1-го року: =К + Кі = К(1 + і);

після 2-го року: ;

… … … … … … … … … … … … …

після п-го року: .

Остаточна (кінцева) сума при нарахуванні складного відсотка протягом п років становить .

Якщо складний відсоток нараховується протягом п років, виконується залежність:

(2)

Вираз 1+і=r називається коефіцієнтом складного відсотка. Тоді

. (2.1)

Слід зауважити, що відсоткова ставка, яка подається у грошових одиницях за поточним курсом без урахування інфляції називається номінальною. А відсоткова ставка, яка дорівнює різниці номінальної ставки і відсотка інфляції називається реальною

4.Апроксимація функції. Лінійне інтерполювання.

 Апроксимація – підхід, за допомогою якого знаходиться аналітична функція  , що “найкращим чином” наближається до заданої табличної функції. Звичайно “найкращим чином” – це критерій, в якості якого використовується критерій середньо квадратичного відхилення (СКВ), заснований на тому, що сума квадратів відхилень аналітичної функції   від експериментальної   (при і=0, 1, …, k) повинна бути мінімальною:

     

Апроксима́ція  — наближене вираження одних математичних об'єктів іншими, простішими, наприклад, кривих ліній — ламаними, ірраціональних чисел — раціональними, неперервних функцій — многочленами.

В найпростішому випадку при п=1 матимемо:

- формула лінійної інтерполяції,

при п=2

– формула квадратичного інтерполювання.

Доведемо для випадку п=1, що . Тоді, матимемо систему

Розв’язуючи дану систему способом додавання, одержимо

, .

Тоді

Тоді .

Зауваження: у випадку лінійної інтерполяції, припускаємо, що графіком функції є пряма, звідси приріст функції повинен бути пропорційним приросту аргументу. Якщо задане значення аргумента х знаходиться між наведеними в таблиці і , де і , тоді вважають, що

Можна записати формулу для оберненого інтерполювання:

Розглянемо приклади:

Приклад 1.

Провести інтерполяцію уявного економічного показника за даними таблиці

Х	0	1	2	3
у	6	4	1	3

Розв’язання:

За даними таблиці маємо квадратичне інтерполювання. Тоді беремо за Виконавши алгебраїчні перетворення, одержимо:

Дуже поширеним методом розв’язування задачі інтерполювання є метод найменших квадратів. Перед тим, як застосовувати його слід розв’язати систему рівнянь:

.

Маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими а і b. Розв’язуючи її, одержимо шукану функцію