3. Задание №3

Для выполнения задания студент должен знать, что каждой кривой второго порядка соответствует квадратичная форма. Приведя квадратичную форму к каноническому виду путём перевода в базис из собственных векторов, можно получить каноническое уравнение кривой.

Пример №3 Записать каноническое уравнение кривой второго порядка Зх² +4xу - 4х- 8y = 0

Квадратичная форма, содержащаяся среди слагаемых левой части уравнения имеетвид (только слагаемые второго порядка ) F(x,y)= Зх²+ 4xy (заметьте коэффициент при у² равен 0), а матрица этой квадратичной формы

Вычислим собственные числа и собственные векторы матрицы

Найдем собственные числа λ , решив характеристическое уравнение.

Пусть собственные векторы Х_i(а₁⁽ⁱ⁾, а₂⁽ⁱ⁾) i.=1,2,

где а₁⁽ⁱ⁾, а₂⁽ⁱ - коор­динаты.

Система для нахождения собственных векторов имеет вид

(***)

Подставим первое собственное число λ₁=4 в систему (***)

и соответствующий единичный вектор X₁⁰ имеет вид

Аналогично подставим второе собственное число λ₂=-1 в систему (***) и получим второй собственный вектор

Составим матрицу перехода между старым базисом и базисом из собственных векторов

Связь между старыми координатами х, у (в базисе i, j ) и новыми координатами x₁, y₁ (в новом базисе) реализуется по формуле (*)

(квадратичная форма в новом базисе будет иметь вид имеет вид F(x_1, y₁) = 4x₁² - у₁² .)

Подставим вместо х и у в уравнение кривой – формулы преобразования (*). Запишем равнение кривой второго порядка в новых координатах, приведем подобные.

Выделим полные квадраты относительно переменных:

Ответ

сопряженная гипербола с полуосями а=1, b=2.

3. Задание №4

Для выполнения задания студент должен знать, что каждой поверхности второго порядка соответствует квадратичная форма. Приведя квадратичную форму к каноническому виду путём перевода в базис из собственных векторов, можно получить каноническое уравнение поверхности.

Пример №2 Записать каноническое уравнение поверхности вто­рого порядка

11x² + 4ху + 2y² - 16xz + 20yz + 5z² + 6x + l2y -6=0.

Запишем квадратичную форму, входящую в состав левой части уравнения (только слагаемые второго порядка)

F(x,y,z)=llx^г + 4ху+2у² - 16xz + 20yz + 5z²

Собственные числа этой матрицы λ₁ = 9, λ₂ = l8, λ ₃ = -9 получены как решения характеристического уравнения

А единичные собственные векторы X₁⁰ = (2/3, 2/3, 1/3)^T, X₂⁰ =(-2/3, 1/3, 2/3)^Т, X₃⁰=(1/3, -2/3, 2/3)^Т найдены как решение системы при различных

Связь между координатами x, y,z в старом базисе (i,j,k) и координатами x₁,y₁,z₁ в новом базисе (X₁⁰,X₂⁰,X₃⁰) имеет вид

(**)

Матрица квадратичной формы В в новом базисе - диагональная

F(x,y,z) =9x₁² +18y₁² -9z₁²

Запишем уравнение поверхности второго порядка в новых коорди­натах(подставим формулы (**) в уравнение поверхности ), приведем

подобные члены и выделим полные квадраты

9x₁² +18y₁ ² - 9z₁² + 2(2x₁ - 2y₁ + z₁) + 4(2x₁ +y₁ -2z₁) - б = 0;

9x₁² + I8y₁² - 9z₁² +12x₁ - бz₁ - б = 0;

Перейдем к новым координатам (параллельный перенос)

Полученное уравнение является каноническим уравнением однополо стного

гиперболоида (1.6.7) с параметрами а =1, b =√2/2, с=1.