Билет № 1

по курсу высшей математике (3 семестр)

1. Что называется частными производными второго порядка функции u = f(x, y, z). В каком случае частная производная называется смешанной?

2. Найти частную производную первого порядка функции по независимой переменной x.

3. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь, ограниченную линиями y = x², x = y².

4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = x² + y², x² + y² = 4, z = 0.

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Билет № 2

по курсу высшей математике (3 семестр)

1. Что называется производной функции f(x, y, z) по направлению ? Напишите формулу для ее вычисления. Что называется градиентом функции?

2. Найти смешанную производную второго порядка для функции .

3. Построить область, площадь которой выражается интегралом .

4. Вычислить криволинейный интеграл от точки A(1; 1) до точки B(2; 2) по прямой AB.

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Билет № 3

по курсу высшей математике (3 семестр)

1. Приведите пример криволинейного интеграла, не зависящего от пути интегрирования.

2. Найти вектор grad u в точке A(1; 1; 1), если .

3. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z + x + y = 1, z = 0, y = 0, x = 0.

4. Найти дивергенцию векторного поля в точке A(-1; 1; 1).

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Билет № 4

по курсу высшей математике (3 семестр)

1. Почему, если f(x, y) = 1 всюду в области D, то двойной интеграл равен площади области D.

2. Найти полный дифференциал функции z = xlny.

3. Изменить порядок интегрирования .

4. Вычислить криволинейный интеграл от точки A(1; 0) до точки B(3; 1) по прямой AB.

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Билет № 5

по курсу высшей математике (3 семестр)

1. Приведите примеры использования двойных или тройных интегралов в задачах по избранной вами специальности.

2. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке A(1; 1; 4).

3. Выразить двойной интеграл через двукратный. Область S ограничена прямой y = x – 1 и параболой y² = 2x + 1.

4. Найти массу дуги AB параболы , если в каждой ее точке линейная плотность  = x²; x_A = 0, x_B = 3.

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Билет № 6

по курсу высшей математике (3 семестр)

1. Что вы заметили общего в определении двойного и тройного интегралов?

2. Найти экстремум функции , сделать чертеж.

3. Проверить, что векторное поле является соленоидальным.

4. Вычислить криволинейный интеграл по дуге AB параболы , если A(0; 1), B(2; 3).

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Экзаменационный билет № 1

по курсу высшей математике (4 семестр)

1. Какой ряд называется сходящимся? Сформулируйте достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

2. Исследовать сходимость числового ряда .

3. Вычислить приближенно с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

4. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что «герб» появится два раза.

5. Случайная величина X распределена на отрезке [0; 3] с плотностью вероятности f(x) = kx². Найти коэффициент k и математическое ожидание M(X).

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ