Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости (с доказательством).

Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.

Матричный критерий линейной зависимости и независимости.

Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.

Определение подпространства линейного пространства и теорема о подпространствах.

Определение матрицы перехода и её свойства.

Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса. Линейное невырожденное преобразование переменных.

Определение линейного оператора и его простейшие свойства (с доказательством).

Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа.

Определение матрицы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы.

Операции над линейными операторами.

Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.

Обратный линейный оператор.

Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств.

Определение и свойства собственных векторов (с доказательством).

Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора и его матрицы. Правило нахождения собственных векторов (с доказательством).. Лемма о решении вырожденной однородной системы линейных уравнений.

Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду. Критерий приводимости квадратной матрицы к диагональному виду.

Присоединенные векторы и правило их нахождения.

Определение билинейной формы и различные способы её записи.

Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Невырожденные и симметричные билинейные формы и их матрицы.

Квадратичные формы и их связь с билинейными формами. Различные способы записи квадратичной формы. Изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса.

Канонический и нормальный виды квадратичной формы.

Определение знакоопределенной квадратичной формы. Полуопределенные формы. Необходимое условие знакоопределенности (с доказательством). Исследование знакоопределенности по каноническому виду.

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм.

Аксиоматическое определение скалярного произведения на действительном линейном пространстве. Следствия из аксиом. Евклидовы пространства.

Аксиоматическое определение скалярного произведения на комплексном линейном пространстве. Следствия из аксиом. Унитарные пространства.

Неравенства Коши – Буняковского и треугольника (с доказательством).

Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Теорема о линейной независимости.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Пример.

Матрица Грама. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Изменение матрицы Грама при изменении базиса.

Ортогональные и унитарные матрицы и их свойства. Теорема о матрице перехода. Свойства эрмитовых и симметричных матриц.

Определение самосопряженного оператора. Теоремы о матрице, о собственных значениях и собственных векторах. Следствия из этих теорем.

Определение самосопряженного оператора и теорема об ортонормированном базисе.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных.

Определение изометрии и теорема об её собственных значениях.

Определение изометрии и теорема о длинах.

Определение изометрии и теорема об ортонормированном базисе.

Матрицы ортогональных и унитарных операторов.

Ортогональные операторы на евклидовой плоскости.

Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве.

Симметричные операторы на евклидовой плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве.

Общее определение тензора. Примеры тензоров.

Общее определение тензора. Основные операции над тензорами.

Тензоры в евклидовом пространстве. Метрический тензор. Операции поднятия и опускания индексов. Тензоры в ортонормированных базисах. Евклидов (ортогональный) тензор.

Определение группы и простейшие следствия из аксиом.

Группа Лоренца.