16. Ряд Тейлора.
Опр.: Функциональный
ряд вида
наз. степенным рядом. Степенным рядом
также наз. ряд вида
,
где
-
центр степ. ряда,
-
коэффициент степ. ряда.
Опр.: Число
наз. радиусом сходимости степ. ряда.
Опр.: Интервал
- интервал
сходимости.
Т.(Коши –
Адамара):
Пусть у степ. ряда
.
Тогда если:
,
,
.
Т.Вейерштрасса. ( Дост. условие абсолютной и равномерной сходимости функционального ряда).
Если функцион. ряд
можно оценить сверху сходящимся числовым
рядом
таким, что
,
то функцион. ряд
равномерно и абсолютно сх-ся на мн-ве
E.
Т. ( О равномерной сходимости степ. ряда).
Любой степ.
ряд
с ненулевым радиусом сх-ти R>0
равномерно сх-ся на любом отрезке,
содержащимся внутри интервала сх-ти
Опр.1
Функция f
наз. разложимой в степенной ряд на мн-ве
с центром в т.
(т.
– внутр. для мн-ва E),
если существует степенной ряд
,
что всюду на мн-ве E
ф-ция f
является суммой этого ряда:
Или
f
Опр.2
Ф-ция
наз. разложимой в степенной ряд с центром
в т.
,
если
f(k)
Опр.3
Ф-ция
наз. разложимой в степенной ряд в
окрестности т.
(т.
– внутр. для
),
если
и ф-ция f
явл-ся разложимой в степенной ряд на
с центром в т.
.
Опр.4 Ф-ции, разложимые в ряд в окрестности т. , наз. аналитическими в т. .
Т1:
Если ф-ция
разложима в степенной ряд с центром в
т.
на всем
,
то всюду на
она обладает непрерывными производными
любого порядка (т.е.
).
Зам-ие:
Если в некоторой т.
не сущ-ет
,
то ф-ция не разложима в степенной ряд.
Т2:
(необходимое
условие разложимости в степенной ряд).
Если
разложима в степенной ряд на промежутке
с центром в т.
,
то это разложение единственно, а
коэффициенты степ. ряда вычисляются по
формуле:
.
Док-во:
Пусть f
разложима в степ. ряд на
в т.
,
по опр. f(x)=
вычислим производные 1,2,… n-го
порядков.
,
,…,
.
Положим
.
В ноль обращаются все слагаемые в сумме,
кроме первого, т.о.
Т.о., коэффициенты однозначно определяются ф-цией и ее производными (в силу единственности производной) разложение единственно (Ч.т.д).
Вывод.
Если ф-ция
разложима на
в степенной ряд с центром в т.
,
то это разложение имеет вид:
Опр.5 Пусть
дана
,
,
внутр. для
.
Пусть
,
тогда степ. ряд
наз-ся рядом Тейлора ф-ции f
с центром в
т.
.
Сл-ие 1: Любой степенной ряд с ненулевым радиусом сходимости явл. рядом Тейлора для своей суммы.
Сл-ие2: Если ф-ция разложима на промежутке сходимости в степ. ряд, то этот ряд явл. ее рядом Тейлора.
Т3: (НиД усл –ие разложимости ф-ции в ряд Тейлора). Пусть . Для того, чтобы f была разложима в ряд Тейлора с центром в т. необх. и дост., чтобы выполнялись условия:
1.
2.
,
где
Зам-ие: Использовать теорему трудно, т.к. усл.2. проверить на практике трудно.
Т4: (Дост. усл –ие разложимости ф-ции в ряд Тейлора). Для того, чтобы ф-ция была разложима в ряд Тейлора на в т. дост-но, чтобы
1.
2.
(производные всех порядков ограничены
одной общей константой).
Разложение в ряд Тейлора основных элементарных ф-ций.