17. Каковы соотношения между напряжениями на различных площадках, проходящих через заданную точку соор-я

Прежде чем познакомиться с постановкой задачи по определению напряжений при заданной нагрузке, ответим на вопрос о том, все ли напряжения по различным площадкам являются независимыми (величина и направление полного напряжения зависит от положения плоскости  - это очевидно). Для того чтобы на него ответить, рассмотрим равновесие точки M под действием напряжений по четырем площадкам (рис.3.2) три из них (x, y, z) взаимно перпендикулярны, а четвертая - , имеет произвольное направление, определяемое нормалью n_ (направляющими косинусами l = cos , m = cos  , n = cos ). Из условий равновесия (проекций сил на оси x, y и z) получаем

_  _xl  _yxm  _zxn  0,

_  _xyl  _ym  _zyn  0, (3.1)

Z_  _xzl  _yzm  _zn  0.

где X_ , Y_ , Z_ - проекции полного напряжения на координатные оси - .

Из уравнений (3.1) следует, что если известны девять компонентов напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам (_x, _y, _z, _xy, _xz, _yx, _yz, _zx, _zy), то могут быть определены напряжения по любым другим площадкам. Проецируя найденные из этих уравнений X_ , Y_ , Z_ на нормаль к плоскости - , получаем нормальные напряжения, а касательные напряжения определим вычитанием из полного напряжения нормальных

_x = _xl²  _ym² _zn² _xylm  _yznm 

+ _zxnl _yxlm  _zymn  _xznl , (3.2)

.

18. «Главные» напряжения, как определяются и какие усл-я позволяют назвать их главными?

При заданных девяти компонентах первое уравнение (3.2) представляет собой поверхность второго порядка при изменении ориентации площадки (l, m, n). Ее называют поверхностью нормальных напряжений, или поверхностью Коши. Из аналитической геометрии известно, что путем надлежащего поворота осей координат уравнение такой поверхности может быть приведено к каноническому виду. Такое уравнение не содержит произведений направляющих косинусов. Это возможно в том случае, когда касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках будут равны нулю.

Координатные оси канонической системы координат обозначим цифрами 1, 2, 3

_  ₁l²  ₂m²  ₃n². (3.3)

Эти площадки называют главными, а напряжения ₁, ₂, ₃ - главными напряжениями (рис.3.3).

Касательные напряжения на площадке  также могут быть выражены через главные напряжения . (3.4)

Изменение _ и _ в зависимости от углов наклона площадки по отношению к главным показано на графиках (рис. 3.4), построенных для случая, когда один из направляющих косинусов (например, n) равен нулю (плоская задача). Принимая во внимание, что l² + m² = 1, разделим все члены уравнения (3.3) на ₁. после простых преобразований получим . (3.5)

Пользуясь уравнением (3.5), можно легко найти значение _ при заданных ₁ и ₂ . Напомним, что m - косинус угла между нормалью к площадке и осью 2 координат.

Аналогично из выражения (3.4) получим уравнение

, (3.6)

которое определяет касательные напряжения на любой площадке.