1. Огляд методів розв’язку слар, що виникають у мсе

У процесі побудови дискретних аналогів крайових задач виникають великі системи в загальному випадку нелінійних алгебраїчних рівнянь, які вирішуються у два етапи: на першому етапі вони линеаризуються, а потім отримана система лінійних рівнянь вирішується за допомогою якого-небудь методу лінійної алгебри. Якщо збіжність не досягнута, то процес повторюється.

Основна ідея методу скінчених елементів полягає в тому, що будь-яку неперервну величину, таку як температура, тиск і переміщення, можна апроксимувати дискретною моделлю, яка будується на множині кусочно-неперервних функцій, визначених на кінцевім числі підобластей. Кусочно-неперервні функції визначаються за допомогою значень неперервної величини в кінцевім числі точок розглядаємої області [1,2,3].

У загальному випадку, неперервна величина заздалегідь невідома, і потрібно визначити значення цієї величини в деяких внутрішніх точках області. Дискретну модель, однак, дуже легко побудувати, якщо спочатку припустити, що числові значення цієї величини в кожній внутрішній точці області відомі. Після цього можна перейти до загального випадку. Отже, при побудові конкретної моделі неперервної величини роблять наступним чином:

а) у розглядаємій області фіксується кінцеве число точок. Ці точки називаються вузловими точками або просто вузлами;

б) значення неперервної величини в кожній вузловій точці вважається змінною, яка повинна бути визначена;

в) область визначення неперервної величини розбивається на кінцеве число підобластей, називаних елементами. Ці елементи мають загальні вузлові точки і у сукупності апроксимують форму області;

г) неперервна величина апроксимується на кожному елементі функцією, яка визначається за допомогою вузлових значень цієї величини. Для кожного елемента визначається своя функція, але функції підбираються таким чином, щоб зберігалася неперервність величини уздовж границь елемента.

Способи розв’язку СЛАР, застосовувані разом із МСЕ, можна умовно розбити на дві групи: прямі (точні) і ітераційні (наближені). Прийнято вважати, що прямі методи найбільш ефективні при рішенні СЛАР невисоких порядків (не більше 10⁵ невідомих), а ітераційні – для розв’язку СЛАР великих і надвеликих систем (понад 10⁵ невідомих).

Якщо всю матрицю коефіцієнтів СЛАР вдається розмістити в пам'яті, то розв’язок такої системи не представляє якої-небудь складності. Однак на практиці часто доводиться мати справу з матрицями, розміри яких суттєво перевищують об'єм оперативної пам'яті комп'ютера. У таких випадках і доводиться використовувати різні модифікації як прямих, так і ітераційних методів.

Остаточне рішення про застосування прямих або ітераційних методів розв’язку СЛАР необхідно ухвалювати на основі аналізу структури досліджуваної математичної задачі. Прямі методи розв’язку СЛАР вигідніше використовувати, якщо необхідно розв’язувати багато однакових систем з різними правими частинами, або якщо матриця А не є додатньо-визначеною. Крім того, існують задачі з такою структурою матриці, для якої прямі методи завжди кращі, ніж ітераційні.