II. Статистический анализ генеральной совокупности

1. Рассчитать генеральную дисперсию , генеральное среднее квадратическое отклонение и ожидаемый размах вариации признаков R_N. Сопоставить значения генеральной и выборочной дисперсий.

2. Для изучаемых признаков рассчитать:

а) среднюю ошибку выборки;

б) предельные ошибки выборки для уровней надежности P=0,683, P=0,954, P=0,997 и границы, в которых будут находиться средние значения признака в генеральной совокупности при заданных уровнях надежности.

3. Рассчитать коэффициенты асимметрии As и эксцесса Ek. На основе полученных оценок охарактеризовать особенности формы распределения единиц генеральной совокупности по каждому из изучаемых признаков.

2. Выводы по результатам выполнения лабораторной работы1

I. Статистический анализ выборочной совокупности

Задача 1. Количество аномальных единиц наблюдения (табл.2) равно двум, номера предприятий 11 и 30.

Задача 2. Рассчитанные выборочные показатели представлены в двух таблицах — табл.3 и табл.5. На основе этих таблиц формируется единая таблица (табл.8) значений выборочных показателей, перечисленных в условии Задачи 2.

Таблица 8

Описательные статистики выборочной совокупности

Обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам	Признаки
	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.
Средняя арифметическая ( )	3330	5744,3
Мода (Мо)	3415	5730
Медиана (Ме)	3355,5	5713,5
Размах вариации(R)	1700	3960
Дисперсия( )	163439,13	876404,21
Среднее линейное отклонение ( )	325,26	721,16
Среднее квадратическое отклонение (σn)	404,28	936,16
Коэффициент вариации (Vσ)	12,14	16,30
Коэффициент асимметрии К.Пирсона (Asп)	-0,21	0,02

Задача 3.

3а). Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации V_ в соответствии с оценочной шкалой колеблемости признака:

0%<V_ 40% - колеблемость незначительная;

40%< V_ 60% - колеблемость средняя (умеренная);

V_>60% - колеблемость значительная.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_ =12,14. Так как значение показателя лежит в диапазоне 0%<V_ 40% оценочной шкалы, следовательно, колеблемость незначительная.

Для признака Выпуск продукции показатель V_ =16,30. Так как значение показателя лежит в диапазоне 0%<V_ 40% оценочной шкалы, следовательно, колеблемость незначительная.

3б). Степень однородности совокупности по изучаемому признаку для нормального и близких к нормальному распределений устанавливается по значению коэффициента вариации V_. Если V_ 33%, то по данному признаку расхождения между значениями признака невелико, единицы наблюдения количественно однородны.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V_ 33%, следовательно, по данному признаку выборочная совокупность количественно однородна .

Для признака Выпуск продукции показатель V_ 33%, следовательно, по данному признаку выборочная совокупность количественно однородна.

3в). Сопоставление средних отклонений – квадратического  и линейного –позволяет сделать вывод об устойчивости индивидуальных значений признака, т.е. об отсутствии среди них «аномальных» вариантов значений.

В условиях симметричного и нормального, а также близких к ним распределений между показателями  и имеют место равенства  1,25 , 0,8, поэтому отношение показателей и  может служить индикатором устойчивости данных.

Если >0,8, то значения признака неустойчивы, в них имеются «аномальные» выбросы. Следовательно, несмотря на визуальное обнаружение и исключение нетипичных единиц наблюдения при выполнении Задания 1, некоторые аномалии в первичных данных продолжают сохраняться. В этом случае их следует выявить (например, путем поиска значений, выходящих за границы диапазона ( ), приведенного в табл. 9) и рассматривать в качестве возможных «кандидатов» на исключение из выборки.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель =0,80 0,8. Следовательно, значения признака устойчивы, среди них отсутствуют «аномальные» варианты значений.

«Кандидаты» на исключение из выборки: нет

Для признака Выпуск продукции показатель = 0,77 0,8. Следовательно, значения признака устойчивы, среди них отсутствуют «аномальные» варианты значений.

«Кандидаты» на исключение из выборки: нет

3г). Для оценки количества попаданий индивидуальных значений признаков x_i в тот или иной диапазон отклонения от средней , а также для выявления структуры рассеяния значений x_i по 3-м диапазонам формируется табл.9 (с конкретными числовыми значениями границ диапазонов).

Таблица 9

Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно

	Границы диапазонов, млн. руб.		Количество значений xi, находящихся в диапазоне		Процентное соотношение рассеяния значений xi по диапазонам, %
	Первый признак	Второй признак	Первый признак	Второй признак	Первый признак	Второй признак
А	1	2	3	4	5	6
	[2925,72 ; 3734,28]	[4808,14 ; 6680,46]	20	20	62,5	62,5
	[2521,44 ; 4138,56]	[ 3871,98 ; 7616,62]	28	29	87,5	90,6
	[2117,16 ; 4542,84]	[ 2935,82 ; 8552,78]	31	32	96,9	100

На основе данных табл.9 структура рассеяния значений признака по трем диапазонам (графы 5 и 6) сопоставляется со структурой рассеяния по правилу «трех сигм», справедливому для нормальных и близких к нему распределений:

68,3% значений располагаются в диапазоне ( ),

95,4% значений располагаются в диапазоне ( ),

99,7% значений располагаются в диапазоне ( ).

Если полученная в табл. 9 структура рассеяния х_­i по 3-м диапазонам незначительно расходится с правилом «3-х сигм», можно предположить, что распределение единиц совокупности по данному признаку близко к нормальному.

Расхождение с правилом «3-х сигм» может быть существенным. Например, менее 60% значений х_i попадают в центральный диапазон ( ) или значительно более 5% значения х_i выходит за диапазон ( ). В этих случаях распределение нельзя считать близким к нормальному.

Вывод:

Сравнение данных графы 5 табл.9 с правилом «3-х сигм» показывает на их незначительное расхождение, следовательно, распределение единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов можно считать близким к нормальному.

Сравнение данных графы 6 табл.9 с правилом «3-х сигм» показывает на незначительное расхождение, следовательно, распределение единиц совокупности по признаку Выпуск продукции можно считать близким к нормальному.

Задача 4. Для ответа на вопросы 4а) – 4г) необходимо воспользоваться табл.8 и сравнить величины показателей для двух признаков.

4а)-в). Для сравнения степени колеблемости значений изучаемых признаков, степени однородности совокупности по этим признакам, надежности их средних значений используются коэффициенты вариации V_ признаков.

Вывод:

Так как V_ для первого признака меньше, чем V_ для второго признака, то колеблемость значений первого признака меньше колеблемости значений второго признака, совокупность более однородна по первому признаку, среднее значение первого признака является более надежным, чем у второго признака.

4г). Сравнение симметричности распределений в центральной части ряда.

В нормальных и близких к нему распределениях основная масса единиц

(68,3 %) располагается в центральной части ряда, в диапазоне ( ). Для оценки асимметрии распределения в этом центральном диапазоне служит коэффициент К.Пирсона As_п.

При правосторонней асимметрии As_п>0, при левосторонней – As_п<0. Если As_п=0, вариационный ряд симметричен.

Вывод:

Асимметрия распределения признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов в центральной части ряда является левосторонней, так как As_{п= -0,21.} Асимметрия признака Выпуск продукции является правосторонней, так как As_{п= 0,02.} Сравнение абсолютных величин |Аs_п| для обоих рядов показывает, что ряд распределения по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов менее асимметричен, чем ряд распределения по признаку Выпуск продукции.

Задача 5. Интервальный вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов представлен в табл.7, а его гистограмма и кумулята – на рис.2.

Возможность отнесения распределения признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» к семейству нормальных распределений устанавливается путем анализа формы гистограммы распределения. Анализируются количество вершин в гистограмме, ее асимметричность и выраженность «хвостов», т.е. частоты появления в распределении значений, выходящих за диапазон ( ).

1. При анализе формы гистограммы прежде всего следует оценить распределение вариантов признака по интервалам (группам). Если на гистограмме четко прослеживаются два-три «горба» частот вариантов, это говорит о том, что значения признака концентрируются сразу в нескольких интервалах, что не соответствует нормальному закону распределения.

Если гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному.

2. Для дальнейшего анализа формы распределения используются описательные параметры выборки - показатели центра распределения ( , Mo, Me), вариации ( ), асимметрии в центральной части распределения (As_П). Совокупность этих показателей позволяет дать качественную оценку близости эмпирических данных к нормальной форме распределения.

Нормальное распределение является симметричным, и для него выполняются соотношения:

=Mo=Me, As_п=0.

Нарушение этих соотношений свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Распределения с небольшой или умеренной асимметрией в большинстве случаев относятся к нормальному типу.

3. Согласно правилу «3-х сигм» в нормальном и близким к нему распределениях крайние значения признака (близкие к х_min и х_max) встречаются много реже (5-7 % всех случаев), чем лежащие в диапазоне ( ). Следовательно, по проценту выхода значений признака за пределы диапазона ( ) можно судить о соответствии длины «хвостов» распределения нормальному закону.

Вывод:

1. Гистограмма является одновершинной .

2. Распределение приблизительно симметрично, так как As_п= -0,12 параметры , Mo, Me отличаются незначительно:

= 3330, Mo=3415, Me=3355,5.

3. “Хвосты” распределения не очень длинны, т.к. согласно графе 5 табл.9. 9,4% вариантов лежат за пределами интервала ( )=[2521,44 ; 4138,56 ]

Следовательно, на основании п.п. 1,2,3, можно сделать заключение о близости изучаемого распределения к нормальному.