1. Довести тотожність:

.

2. Розрахувати середнє значення за часом деякої динамічної величини, яка відноситься до

гармонічного осцилятора та порівняти його з середнім, отриманим за допомогою

мікроканонічного ансамблю.

3. У постійному та однорідному магнітному полі у термостаті знаходиться ідеальний

газ, частинки якого мають магнітні моменти . Розрахувати середню

намагніченість газу.

Варіант 9.

1. Розрахувати різницю теплоємностей при постійному тиску та фіксованому об’ємі у випадку системи зі сталою кількістю частинок.

2. Узагальнити квантове рівняння Ліувілля у випадку взаємодії підсистеми з термостатом та зовнішнім полем.

3. Розрахувати класичну ротаційну статистичну суму, використовуючи з метою опису мікроскопічних станів двохатомної молекули сферичні координати.

Варіант 10.

1. Розрахувати кількість станів та густину станів для класичного

гармонічного осцилятора.

2. Використовуючи рівняння неперервності та рівняння руху ідеальної

рідини виразити у лінійному наближенні теорії збурень швидкість

звуку у такій системі через ізотермічний модуль всестороннього стиску

.

3. Отримати функцію розподілу флуктуацій енергії у гаусівському

наближенні, виходячи з класичної функції розподілу у

канонічному ансамблі.

Варіант 11.

1. Розрахувати ентропію системи незалежних частинок, кожна з яких може мати енергію або .

2. Отримати внутрішню енергію та ентропію діелектрика, який знаходиться у конденсаторі з напруженістю електричного поля .

3. Використовуючи ізобарично-ізотермічний ансамбль, розрахувати термодинамічні функції ідеального газу.

Варіант 12.

1. Розрахувати вираз:

2. Розрахувати теплоємність при постійному об’ємі нерелятивістського

фермі-газу з довільним законом дисперсії електронів при низьких температурах.

3. Використовуючи перетворення Лапласа, отримати статистичну сумму та густину станів системи не взаємодіючих частинок у об’ємі , де потенціальна енергія частинки дорівнює . За межами цього об’єму потенціальна енергія нескінченно велика.

Варіант 13.

1. Доказати тотожність:

.

2. Отримати рівняння стану ідеального електронного газу при низьких температурах.

3. Довести співвідношення

Варіант 14.

1. Зв'язати зміну температури при зміні густини рідини у звуковій хвилі зі швидкістю

розповсюдження звуку.

2. Розрахувати середню енергію руху квантової частинки з одним ступенем свободи у

одновимірному термостаті, який являє собою потенціальний ящик довжиною з

зеркально відбиваючими частинку стінками.

3. Отримати залежність від температури хімічного потенціалу бозе-газу.

Варіант 15.

1. Отримати за допомогою мікроканонічного розподілу перше начало термодинаміки для відкритої системи.

2. Визначити, як зміниться спектральна густина випадкового стаціонарного процесу

, якщо показання приладу, який вимірює значення , відповідають середньому

значенню цієї величини впродовж часу кожного вимірювання :

.

3. Розрахувати термодинамічні величини твердого тіла у моделі Дебая.

Варіант 16.

1. Переконатися у справедливості теореми Ліувілля у випадку трьох гармонічних

осцилляторів:

2. Розрахувати внутрішню енергію, ентропію, теплоємність системи

невзаємодіючих частинок зі спіном при температурі , які знаходяться у

магнітному полі .

3. Дослідити, як однорідне гравітаційне поле впливає на температуру бозе-ейнштейнівської конденсації.

Варіант 17.

1. Розрахувати кількість станів та густину станів для класичного

гармонічного осцилятора.

2. Розрахувати тиск ідеального електронного газу при температурі .

3. Для гармонічного осцилятора, який має массу та кутову частоту ,

розрахувати статистичну суму класичним та квантово-механічним шляхом, а також

знайти температурну залежність внутрішньої енергії та теплоємності у випадку

системи подібних незалежних осциляторів.

Варіант18.

1. Розрахувати густину станів релятивістської частинки, енергія якої дорівнює

2. Розрахувати температуру бозе-ейнштейнівської конденсації.

3. Отримати дисперсію кута відхилення від вертикалі математичного маятника у

середовищі при температурі .

Варіант 19.

1. Довести, що розподіл Гіббса не злежить від вибору термостата. У якості

термостата розглянути: а) сукупність частинок ідеального газу;

б) незалежних лінійних осциляторів. Отримати розподіл Гіббса за допомогою

загальної формули мікроканонічного розподілу для цих моделів

термостату. При цьому розглянути границю, таким чином, що

є сталим .

2. Розрахувати внутрішню енергію та теплоємність виродженого бозе-газу.

3. Розрахувати густину станів релятивістської частинки, яка рухається на площині.

Варіант 20.

1. Отримати внутрішню енергію та ентропію дворівневої системи у термостаті.

2. Розрахувати великий термодинамічний потенціал та ентропію виродженого бозе-газу.

3. Узагальнити квантове рівняння Ліувілля у випадку взаємодії підсистеми з термостатом

та зовнішнім полем.

Варіант 21.

_{1. Розрахувати вираз:}

.

2. Розрахувати хімічний потенціал двовимірного електронного газу, розташованого на

смузі, площа якої дорівнює , у випадку високих температур. Густина станів

з фіксованою орієнтацією спіна дорівнює .