2. Основнi та похiднi фiзичнi величини й одиницi. Розмiрностi фiзичних величин.

Зв’язки мiж фiзичними величинами, що виражаються рiвняннями типу (1.1), є не випадковими, а закономiрними, тому що вони за допомогою математичних символiв об’єктивно вiдтворюють взаємний зв’язок мiж рiзними формами руху матерії. Справді, фiзичний закон звичайно виражається таким рiвнянням зв’язку мiж фiзичними величинами:

f(x₁, x₂ ,..., x_m) = 0, (1.3)

де x₁, x₂, ..., x_m  - деякi фiзичнi величини;. f(x₁ ,x₂, ..., x_m)  - функцiя m змiнних..

Досить часто рiвняння (1.3) можна записати у виглядi  

x_m = f₁(x₁, x₂, ..., x_m-1), (1.4)

де х_m - визначена в кожному конкретному випадку величина. Зауважимо, що в рівняннях (1.3) або (1.4) додавати чи віднімати можна лише однорідні величини. Неоднорідні величини A i B перемножують і ділять за правилами алгебри:

де добуток {A}{B} - числове значення {AB} величини AB; добуток [A][B] - одиниця [AB] величини AB; частка {A}/{B} - числове значення {A/B} величини A/B; частка [A]/[B] - одиниця [A/B] величини A/B.  Наприклад, швидкість v частинки, яка рухається рівномірно і прямолінійно, задається рівнянням v=l/t, де l - шлях, який подолала частинка за проміжок часу t. Якщо частинка подолала шлях l=6 м за час t=2 с, то її швидкість дорівнює 

v = l/t= (6 м)/(2 с) = 3 м/с.

Розрізняють два типи фізичних рівнянь: для величин, де символи величин позначають їхні значення, і для числових значень величин.

Рівняння для числових значень величин найчастіше є емпіричними формулами, отриманими безпосередньо у фізичному досліді, а їхній вигляд залежить від вибору одиниць. Одиниці всіх величин, використаних у таких рівняннях, мають бути чітко визначені в ньому самому або в контексті.

Рівняння для величин не залежать від вибору одиниць, тому саме їм треба завжди надавати перевагу.

Наприклад, якщо в досліді шлях вимірювали в метрах, час - у секундах, а швидкість - у кілометрах за годину, то емпірична залежність

{v}км/год = 3,6{l}м/{t}с

Є рівнянням для числових значень величин, де числовий множник 3,6 отримано як наслідок особливого вибору одиниць величин; у разі іншого вибору одиниць цей множник буде іншим.

Співвідношення v=l/t є рівнянням для величин, і його вигляд не залежить від вибору одиниць довжини, часу та швидкості.

Сукупнiсть фiзичних величин, взаємопов’язаних рівняннями, які виражають закони природи або визначають нові величини, утворює систему фiзичних величин.

Величини умовно подiляють на основні та похiднi.

Основною (фiзичною) величиною називається фiзична величина, що входить в систему фізичних величин i прийнята за незалежну вiд iнших величин цiєї системи. Прикладами таких величин є довжина l, маса m та час t.

Похiдною (фiзичною) величиною називається величина, що входить в систему фізичних величин та визначається через основнi величини цiєї системи. Такою величиною в механiцi буде, наприклад, швидкiсть, якщо довжину та час обрано як основнi величини системи.

Вибiр основних величин дозволяє визначати розмiрнiсть решти величин, що входять до системи.

Розмiрнiсть фiзичної величини - це вираз, що вiдображує її зв’язок з основними величинами системи величин, вона є умовним символом фізичної величини в даній системі величин.

Розмiрнiсть фiзичної величини визначає формула розмiрностей, загальний вигляд якої встановлюється такою теоремою:

Розмiрнiсть фiзичної величини є добутком розмiрностей основних величин, пiднесених до відповiдних степенiв.

Величина, в розмiрностi якої, принаймні одна з основних величин пiднесена до степеня, що не дорiвнює нулю, називається розмiрною фiзичною величиною.

Розмiрностi фiзичних величин позначаються великими лiтерами латинського алфавiту прямим шрифтом. Наприклад, якщо в механiцi як основнi величини обрати довжину, масу та час, то їхні розмiрностi позначають лiтерами вiдповiдно L, M, T.

Розмiрнiсть величин позначається символом dim (вiд лат. dimension - розмiр, розмiрнiсть, вимiрювання). Тодi, наприклад, у системi механiчних величин L, M, T розмiрнiсть швидкостi можна одержати з формули швидкостi рiвномiрного прямолiнiйного руху: v=l/t. Вона виражатиметься спiввiдношенням

dim v = LT^-1.

У даному випадку розмiрнiсть будь-якої фiзичної величини z позначатиметься формулою

dim z = L^pM^qT^r,

де p, q, r - рацiональнi числа.

Безрозмiрною фiзичною величиною називається величина, у розмiрності якої всі степенi розмірностей основних величин дорівнюють нулю. Зауважимо, що величина, яка є безрозмiрнісною в однiй системi величин, може мати розмiрнiсть в iншiй.

Можна також подiлити одиниці фiзичних величин на основні та похiднi, що, як i відповідні до них фiзичнi величини, утворюють  систему одиниць. Іншими словами, система одиниць - це сукупність одиниць певної системи фізичних величин.

Основною одиницею (системи одиниць) називається одиниця основної фiзичної величини в певній системi одиниць. Наприклад, у системi одиниць СГС, що вiдповiдає системi величин з основними величинами довжини, маси та часу, основними одиницями є сантиметр, грам, секунда.

Похiдною одиницею (системи одиниць) називається одиниця похiдної фiзичної величини в певній системi одиниць. Вона утворюється згідно з рiвнянням, що пов’язує її з основними одиницями або з основними та вже визначеними похiдними одиницями. Зазначенi визначальнi рiвняння для похiдних одиниць, взагалi кажучи, обираються довiльно. Але перевагу наддають найпростішим рiвнянням, в яких фiзичнi величини пов’язанi мiж собою лише операцiями множення або дiлення, а коефіцієнт пропорційності дорівнює числу 1.

Якщо похiдну одиницю пов’язано з іншими одиницями системи рiвнянням, в якому числовий коефiцiєнт дорiвнює числу 1, то вона називається когерентною одиницею (системи одиниць).

Прикладами когерентних одиниць можуть бути: одиниця швидкостi v 1 м/с, яку утворено за рiвнянням мiж одиницями

[v] = [l]^.[t]^-1,

де [l] = 1 м, [t] = 1 с, або одиниця iндуктивностi L 1 генрi, що визначається рiвнянням

[L] = []^.[I]^-1,  

де [] = 1 Вб, [I] = 1 А.

Системою одиниць (фiзичних величин) називається сукупнiсть одиниць певної системи фiзичних величин. Тоді системною одиницею фiзичної величини є основна чи похiдна одиниця цієї системи одиниць.

Одиниця фізичної величини, що не належить до даної системи одиниць, називається позасистемною.

Одиниці величин, що належать до однієї системи одиниць, можуть бути системними чи позасистемними щодо іншої. Наприклад, грам – основна одиниця маси системи СГС – є системною одиницею в межах СІ (частинною від кілограма), але позасистемною щодо системи MKГСС. Такі одиниці іноді називають іншосистемними щодо обраної системи одиниць.

Існують також одиниці величин, що не належать до жодної системи одиниць. Це так звані спеціальні позасистемні одиниці, наприклад, доба, година, хвилина.

Когерентною системою одиниць (фiзичних величин) називається система одиниць, усі похiдні одиниці якої когерентні. У межах когерентної системи можливе введення кратних і частинних одиниць вiд системних одиниць.

Кратною одиницею (фізичної величини) називається одиниця фізичної величини, яка в цiле число разiв перевищує одиницю, від якої вона утворюється, а частинною одиницею (фізичної величини) - одиниця фізичної величини, яка в цiле число разiв менша від одиниці, від якої вона утворюється.

Звичайно, назви кратних і частинних одиниць одержують доданням вiдповiдних префiксiв до назв вихiдних одиниць з урахуванням правил, що розглядатимуться далі. Цi одиницi за визначенням не є когерентними, їх запроваджено для забезпечення бiльшої зручностi при виконанні вимiрювань фiзичних величин і розрахункiв.