Глава 1. Основные понятия дифференциальных уравнений

История развития теории дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения - уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественно - научных дисциплин, по существу одновременно с интегральным исчислением и дифференциальным исчислением.

Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (1642-1727). Ньютон считал это свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно свободно передать так: «законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707-1783) и Лагранжа(1736-1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно - теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, поскольку именно из такого уравнения определяются секулярные (возрастные, т.е. медленные по сравнению с годовым движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777-1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809-1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратурах. Позже Софус Ли (1842-1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришел к необходимости детально исследовать группы дифеоморфизмив (получившие впоследствии имя групп Ли ) - так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами ( алгебры Ли еще раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781-1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854-1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных привела к основанию современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем, сейчас развивается наиболее активно и имеет наиболее важные применения теории дифференциальных уравнений в естествознании. [6]

Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений

Многие процессы в природе можно описать с помощью функции. Дифференциальное исчисление позволяет по данной функции исследовать ее свойства. Не менее важна и обратная задача: по данным свойствам функции найти эту функцию. Иными словами, исследуя процесс, найти функцию, которая его описывает. В алгебре для нахождения неизвестных величин пользуются уравнениями: по условию задачи составляют соотношение, связывающее неизвестную величину с данными и, решая его, находят неизвестную. Аналогично в анализе для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют уравнение, связывающее неизвестную величину с величинами, задающими ее свойство. Поскольку свойства выражаются через производные или дифференциалы того или иного порядка, приходят к соотношению, связывающему функцию, ее производные или дифференциалы. Это соотношение называется дифференциальным уравнением, решая его, находят искомую функцию. [4]

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. [5]

Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания. Решение. Пусть уравнение искомой кривой y = f (x).

( рис. 1)

Обозначим через α угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. Как известно, угловой коэффициент касательной МТ есть tg α, и он равен производной от y по x, так что

tg α = y ' (1)

С другой стороны, по условию задачи имеем

tg α = 2x (2)

Приравнивая значения tg α, определяемые формулами (1) tg α = y ' и (2) tg α = 2x получим

y ' = 2x (3)

Решением дифференциального уравнения (3) y ' = 2x является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет y = x².

Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения (3) y ' = 2x даются формулой

y = x² + С, (4)

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а целое семейство кривых — парабол. Но если в условие задачи добавить точку M₀ (x₀, y₀), через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую. Для этого достаточно заменить в уравнении (4) y = x² + С координаты x и y координатами точки М y₀ = x² + С и, найдя из полученного уравнения значение произвольной постоянной С, подставить его в уравнение (4) y = x² + С. Выполняя указанные выкладки, имеем:

С = y₀ –х₀², y = x² –х₀²+ y₀.

Таким образом, искомой кривой будет парабола y = x² – + y₀.

Задача 2. Предположим, что материальная точка P движется по прямой, которую принимаем за ось Ox. Пусть известна скорость движения как функция от времени t; обозначим ее через f (t) и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени t. Требуется найти закон движения точки, т. е. зависимость x от t, х = x(t), если известно, что в некоторый момент времени t₀ точка занимает положение x₀, так что x(t₀) = x₀.

(рис. 2)

(рис. 3)

Решение. Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени t равна производной от x по t. С другой стороны, эта скорость равна f (t). Поэтому

(5)

Равенство (5) = f (t) есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемой точки. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (5) = f (t), найдем закон движения в конечной форме. Интегрирование уравнения (5) = f (t) состоит в нахождении всех первообразных для функции f (t), которые, как известно из интегрального исчисления, могут быть записаны в виде