2. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности

Пусть исследуемый признак X генеральной совокупности распределен нормально, но параметр а неизвестен, хотя есть основание полагать, что этот параметр равен а₀. Чтобы проверить это предположение, находим по выборке (x₁, x₂,..., x_n) выборочную среднюю и устанавливаем, значимо или незначимо различаютcя и а₀.. Итак, требуется по выборочной средней при заданном риске (уровне значимости)  проверить основную гипотезу Н₀: а = а₀.о равенстве генеральной средней (параметра а) гипотетическому (предполагаемому) значению а₀. Такие задачи возникают, когда необходимо, например, сравнить проективный размер деталей со средним размером деталей партии.

Поскольку критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы, то сформулируем несколько правил.

Параметр  известен

Случай 1. Гипотезы Н₀: а = а₀, Н₁: а  а₀.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину , которая, имеет нормальное распределение с m_z = 0, _z = 1.

Критическую область G найдем из условия .

Если найденное по выборке Z_набл  G, то H₀ как несогласующуюся с выборкой отклоняем в пользу гипотезы H₁.

Итак, чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н₀: а = а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: а  а₀, надо вычислить по выборке и найти критическую точку z_kp двусторонней критической области по таблице 2 значений функции Лапласа приложения из условия Ф(z_kp)= .

Если <z_kp, то гипотезу H₀ принимаем как согласующуюся с выборкой.

Если >z_kp, то гипотезу H₀ отклоняем как не согласующуюся с выборкой в пользу гипотезы Н₁.

Случай 2. Гипотезы Н₀: а = а₀, Н₁: а > а₀.

Чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н₀: а = а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: а > а₀, когда параметр  известен, нужно по таблице 2 значений функции Лапласа приложения найти критическую точку правосторонней области отклонения G из условия Ф(z_kp) = и по выборке найти .

Если z_набл < z_kp, то нет оснований отклонить H₀.

Если z_набл > z_kp, то H₀ отклоняем в пользу H₁.

Случай 3. Гипотезы Н₀: а = а₀, Н₁: а < а₀.

Чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу Н₀: а = а₀ при конкурирующей гипотезе Н₁: а < а₀, когда параметр  известен, нужно сначала по таблице 2 значений функции Лапласа приложения найти вспомогательную точку z_кр^* из условия Ф(z_kp^*) = , тогда критическая точка левосторонней области отклонения z_kp = -z_kp^*, а также найти по выборке .

Если z_набл < z_kp, то H₀ отклоняем.

Если z_набл > z_kp, то H₀ принимаем как согласующуюся с выборкой.

Пример. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 25, найдено =1,2; причем известно, что  = 5. Требуется при уровне значимости  = 0,05 проверить основную гипотезу H₀: а = 2 при конкурирующей H₁: а  2.

Решение.

Из условия Ф(z_kp) = = =0,475 (см. таблицу 2 приложения) находим z_kp = 1,96. Вычисляем = = – 0,8.

Т.к. < z_kp, то гипотезу H₀ принимаем.

Пример. Из нормальной совокупности с известным  = 0,36 извлечена выборка объема n = 36 и по ней найдена = 20,4. Требуется при уровне значимости  = 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀: а = 21 при конкурирующей Н₁: а < 21.

Решение.

Т. к. конкурирующая гипотеза Н₁: а < 21, то область отклонения – левосторонняя, следовательно, находим из Ф(z_kp^*) = = .

Найдем критическую точку z_kp^* = 1,65 (см. таблицу 2 приложения), следовательно, z_kp = – 1,65. Вычисляем = .

Т.к. z_набл = –10 < z_kp = -1,65, то H₀ отклоняем в пользу конкурирующей H₁.

Пример. По выборке объема n = 25, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением  = 10, найдена выборочная средняя = 18. При уровне значимости 0,05 требуется:

1) найти критическую область, если проверяется нулевая гипотеза H₀: а = 20 при конкурирующей гипотезе H₁: а < 20;

2) найти мощность критерия проверки при а₀ =16.

Решение.

1) Так как конкурирующая гипотеза имеет вид а < 21, то критическая область – левосторонняя.

Найдем критическую точку z_кр = – 1,65. Следовательно, левосторонняя критическая область определяется неравенством z < – 1,65, или подробнее

Отсюда < 16,7.

При этих значениях выборочной средней нулевая гипотеза отвергается; в этом смысле = 16,7 можно рассматривать как критическое значение выборочной средней.

2) Для того, чтобы вычислить мощность рассматриваемого критерия, предварительно найдем его значение при условии справедливости конкурирующей гипотезы (т.е. при а₀ = 16), положив = 16,7 ;

Отсюда видно, что если = 16,7 , то z < 0,35. Поскольку при < 16,7 нулевая гипотеза отвергается, то и при z < 0,35 она также отвергается (при этом конкурирующая гипотеза справедлива, так как мы положим а₀ = 16).

Найдем теперь, пользуясь функцией Лапласа, мощность критерия, т.е. вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если справедлива конкурирующая гипотеза:

Р(z < 0,35) = P(- < z < 0,35) = P(- < z < 0) + P(0 < z < 0,35) =

= 0,5 + Ф(0,35) = 0,5 + 0,1368 = 0,6368. (см. таблицу 2 приложения)

Итак, искомая мощность рассматриваемого критерия приближенно равна 0,64. Если увеличить объем выборки, то мощность увеличится.

Например, при n = 64 мощность равна 0,71. Если увеличить , то мощность также увеличится. Например, при  = 0,1 мощность равна 0,7642.

Замечание. Зная мощность, легко найти вероятность ошибки второго рода:  = 1 – 0,64. (Разумеется, при решении примера можно было сначала найти , а затем мощность, равную 1 – .)