Пример выполнения лабораторной работы 3

Лабораторная работа 4 Исследование функции с использованием второй производной

Цель задания. Овладение основными приемами выполнения символьных операций в системе MathCAD.

Постановка задачи. Построить графики функции f(x), ее первой и второй производной, наклонной асимптоты и подтвердить изображение аналитическим исследованием.

Методические указания.

Определить функцию f(x) и ввести аргумент x для построения графика как ранжированную переменную. Для этого нужно использовать знак присваивания := и Панель инструментов векторов и матриц – Задать диапазон дискретной величины (m..n). Для всех вариантов аргумент изменяется на отрезке [–10; 10] с шагом 0,01.
Построить графики функции, ее первой и второй производной. По оси X и оси У задать диапазон изменения значений от –10 до 10. Для того чтобы по оси У откладывалось несколько функций, нужно ввести их через запятую.
Найти наклонную асимптоту и построить ее график. Для этого рассчитать коэффициенты прямой y = kx + b, являющейся асимптотой. Коэффициенты рассчитываются по формулам:

Для получения результатов надо использовать Панель инструментов вычисления – Символьный знак равенства ().

Найти первую производную функции f(x). Для этого скопировать правую часть функции f(x) на свободное место документа. Выделить в этом выражении переменную x, по которой производится дифференцирование, и с помощью главного меню Символика – Переменная – Дифференциация найти первую производную. Упростить полученное выражение через главное меню Символика – Упрощение или Символика – Фактор. Иногда упрощение лучше производить по частям, выделяя не все выражение, а отдельные его части.
Найти точки экстремума. Для этого необходимо вычислить для каких x первая производная f ’(x) равна нулю. В упрощенном выражении первой производной выделить переменную x и через главное меню Символика – Переменная – Решение найти решение уравнения f ’(x) = 0. Найденный результат подставить в функцию f(x) и по графику определить, полученная точка (x, f(x)) является точкой максимума или минимума.
Найти вторую производную функции f(x). Для этого скопировать упрощенное выражение первой производной f ’(x) на свободное место документа. Дифференцирование и упрощение производиться теми же способами, что и в пункте 4.
Найти точки перегиба. При исследовании перегибов найти точки, в которых вторая производная не существует, то есть точки, в которых знаменатель второй производной равен нулю. Для этого нужно скопировать знаменатель упрощенного выражения второй производной f ”(x) на свободное место документа и найти точки x, в которых знаменатель обращается в ноль, как описано в пункте 5. Найденный результат подставить в функцию f(x), и записать точки перегиба в виде (x, f(x)).