2.2 Максвелловский ток смещения. Уравнения Максвелла

Формально уравнения электромагнитного поля можно построить на базе уравнений электростатики и закона индукции Фарадея. Однако для этого нет логических оснований обосновывающих правомерность переноса всех закономерностей статических полей на переменное электромагнитное поле. Максвелл сумел обнаружить некорректность перенос закона Ампера для стационарного тока на переменные поля. Закон Ампера в дифференциальной формы для стационарного тока в виде соотношения (1.25) приводит к тому, что дивергенция стационарного тока равна нулю

(2.4)

Это соотношение противоречит уравнению сохранения заряда для переменного ток

(2.5)

где  - объемная плотность свободных зарядов в проводнике. Построим вывод (2.5) на следующем рассуждении. Ток в проводнике, в следствии закона сохранения заряда равен производной по времени от заряда переносимого через поперечное сечение проводника

(2.6)

Соотношение (2.6) означает, что свободный заряд в проводнике при изменении во времени не исчезает, а существует в виде потока плотности тока через поперечное сечение проводника. Другими словами, ток в проводнике существует в виде изменяющегося во времени заряда. Или иначе говоря источником переменного тока, является изменяющийся во времени заряд. Таким образом, соотношение (2.6) математическое соотношение фундаментального принципа физики – закона сохранения заряда. От соотношения (2.6) можно перейти к (2.5). Представим

(2.7)

На основании (2.7), равенство (2.6) можно записать в виде

(2.8)

На основании теоремы Стокса представим (2.8) в эквивалентном виде

(2.9)

Устранение формального противоречия между стационарными и переменными полями выражаемыми соотношениями (2.4) и (2.5), (2.9), является наиболее важным достижением Максвелла. За полтора столетия “придумано” много объяснений догадки Максвелла устранившей это противоречие. Рассмотрим такую интерпретации идеи Максвелла. Максвелл, введя поток магнитной индукции и индуцированную ЭДС как линейный интеграл от напряженности магнитного поля по существу отошел от экспериментов Фарадея: от проводящего контура и индуцированного тока. Фарадей рассматривал электромагнитное поле в пространстве, в котором может и не быть свободных зарядов. Но если (t)0 в конечном объеме пространства, то изменяющиеся заряды можно рассматривать как токи, порождающие электромагнитное поле. Вне объема занятого зарядами (например проводника с током) электромагнитное поле существует и, следовательно, должно подчиняться сохранению заряда (2.5). Максвелл заметил, что закон Кулона приводит к соотношению (1.12), которое можно интерпретировать единственны образом - источником электрической индукции являются заряды. Допустим, что этот вывод можно отнести к переменным зарядам, порождающим переменную электрическую индукцию. Поэтому, не касаясь природы зарядов в диэлектрике или в свободном пространстве логически обоснована замена стационарного тока J, для переменных полей на ток определенной суммой

uде в соответствии с (1.12) DivD=,  - плотность “несвободных зарядов”. Следовательно закон Ампера (1.15) для переменного тока принимает вид

(2.10)

Таким образом идея Максвелла о токе “несвободных” зарядов сняла формальную некорректность, которая выявилась при переходе от стационарных полей к переменным. Действительно, из (2.10) для стационарного случая получаем, что DivJ=0.

Следуя Максвеллу нам осталось пояснить природу тока несвободных зарядов в диэлектриках. Сделаем это на основании следующего предположения Максвелла. Как мы знаем, процесс поляризации в диэлектрике связан с появлением поляризованных частиц, и, следовательно с появлением связанных зарядов. Изменение во времени индукции (смещение) родственно протеканию электрического тока в проводниках. Отсюда возникает идея: соотнести току проводимости ток названные Максвеллом током смещения, вызванного изменением смещения во времени связанных (несвободных) зарядов. Таким образом, в правой части соотношения (2.10) стоит сумма тока проводимости (свободных) зарядов и тока смещения

вызванного связанными зарядами. Поэтому часто называют сумму токов полным током

По Максвеллу, полный ток порождает переменное магнитное поле, как стационарный ток проводимости создает постоянное магнитное поле.

В заключении скажем, что смещение зарядов, не является током в обычном смысле слова, то есть перемещением зарядов. Это становится очевидным для вакуума, в котором нет никаких зарядов, но ток смещения существует. Максвелл не видел разницы между диэлектриком и вакуумом, который по Максвеллу заполнен эфиром, состоящим из нейтральных идеально упругих частиц, но которые могут поляризоваться. Подводя итог сказанному, запишем систему уравнений для электромагнитного поля

(2.11)

Они известны как уравнения Максвелла и составляют основу теории электромагнитного поля с момента их публикации. Уравнения многократно подвергались ревизии. Для этого, как мы видели, были и объективные причины, связанные с тем, что Максвелл при выводе своих уравнений опирался на предположения, которые не имели экспериментального обоснования. Со временем эти “строительные леса”, с помощью которых строилась теория электромагнетизма, отпали, а уравнения Максвелла остались.

В заключении несколько слов о токе J, который входит в первое уравнение Максвелла. Как следует из этапов построения электромагнитной теории, плотность тока J “исторически” является источником поля. В уравнениях Максвелла эта роль тока J сохраняется. Поэтому, уравнения описывают поля в пространстве вместе с током их возбуждающим. В этом случае, система уравнений Максвелла сводится к неоднородному уравнению относительно Е (или Н) или относительно вспомогательной функции – векторного электродинамического потенциала. Неоднородное уравнение представляет собой классическое дифференциальное уравнение с возбуждающей силой в виде тока J в правой части. Решение этого уравнения имеет частный характер, то есть оно устанавливает зависимость электромагнитного поля от конкретного распределения тока J. Если уравнения Максвелла относятся к пространству без источника возбуждения, то, очевидно, они сводятся к однородному дифференциальному уравнению. Однако и в этом случае ток J может быть сохранен в уравнениях Максвелла, если среда в которой существует электромагнитное поле слабо проводящая, имеющая проводимость . В такой среде ток J создается электромагнитным полем. В соответствии с дифференциальным законом Ома в среде возникает ток J=Е. Малая проводимость означает, что ток J незначителен по величине, он не изменяет вида дифференциального уравнения, а выступает в роли малого возмущающего параметра. В случае возможности существования электромагнитного поля вместе с током в объеме полупроводников ток J “сохраняет” свою независимость.