2. Анализ моделей формирования портфеля ценных бумаг

   1. Модель Марковица

Рассмотрим математическую постановку задачи оптимизации портфеля ценных бумаг, а именно минимизации риска портфеля при заданном уровне его доходности. Предположим, что инвестор располагает информацией, отражающей динамику курсов по акциям трех ведущих эмитентов ОАО «Лукойл», ОАО «Роснефть» и ОАО «Сбербанк» за двенадцать прошедших месяцев. Курсы акций на начало месяца с 1 марта 2010 года по 1 февраля 2011 года представлены в Приложении Б. Курсы акций данных эмитентов на начало 1 марта 2011 года составляют соответственно 2035,9;269,86 и 101,39.

В распоряжении инвестора имеется капитал в размере 300 тыс. руб., который он может использовать для покупки этих акций. Его интересует вопрос, акции какого эмитента и в каком количестве следует приобрести по их курсу на начало предстоящего месяца, чтобы с минимальным риском получить в этом месяце доход от покупки не менее 2,48%.

Для решения поставленной задачи воспользуемся методами экономико-математического моделирования. Сначала проведем экономико-статистический анализ динамики курсов. Сначала рассчитаем ряды доходностей данных акций. Для этого используем формулу:

С_j,t+1 – усредненная цена (курс) j-ой бумаги в месяце t+1 (т.е. в последующем);

С_jt - усредненная цена (курс) j-ой бумаги в месяце t;

Результаты полных расчетов представлены в Приложении Б.

Далее необходимо рассчитать оценку математического ожидания эффективности данных ценных бумаг по формуле:

М_Л = 2,22%; М_Р = 1,54%; М_С = 2,57%;

Затем необходимо рассчитать отклонения доходностей ценных бумаг от их средних доходностей. Полученные отклонения представлены в Приложении Б.

Следующим шагом является расчет оценки ковариаций между ценными бумагами данных эмитентов по следующей формуле:

Например, оценка ковариации между ценными бумагами Лукойл и Роснефть находится следующим образом:

Аналогично рассчитываются остальные ковариации. В результате получим (%):

V_ЛЛ = 0,326; V_ЛР= V_РЛ= 0,175; V_ЛС = V_СЛ = 0,300; V_РР = 0,703; V_РС = V_СР = 0,245; V_СС = 0,739.

Подробный расчет всех данных показателей представлен в Приложении В.

После проведения необходимых расчетов составим экономико-математическую модель оптимизации портфеля ценных бумаг. Для начала примем капитал инвестора за единицу, тогда как уже было сказано выше X_i – доля капитала, предполагаемая для вложения в определенную ценную бумагу.

Так как в данном случае желаемый уровень эффективности вложений составляет 2,48%, то есть М_р = 2,48%, то с учетом вышеприведенных расчетов М_Л, М_Р и М_С ограничение модели на эффективность портфеля примет следующий вид:

0,0222 ∙Х₁ + 0,0154 ∙ Х₂ + 0,0257 ∙ Х₃ ≥ 0,0248

Другим ограничением модели является требование на ограниченность капитала: Х₁ + Х₂ + Х₃ ≤ 1. В случае, когда отсутствует возможность заимствовать дополнительный капитал для инвестирования, указывается требование неотрицательности, то есть Х₁ ≥ 0, Х₂ ≥ 0, Х₃ ≥ 0. В нашем случае рассмотрим эту ситуацию. В моделях с условием возможности займа этого ограничения нет. Именно отрицательное значение соответствующей переменной означает, что на эту сумму необходимо привлечь дополнительный капитал к имеющемуся.

Дисперсия отклонений доходности портфеля от доходности, желательной для инвестора, V_р является мерой риска для выбранной структуры инвестиций.

V_р = V_ЛЛ ∙ Х₁² + 2 ∙ V_ЛР ∙ Х₁∙ Х₂ + 2 ∙ V_ЛС ∙ Х₁∙ Х₃ + V_РР ∙ Х₂² +

+ 2 ∙ V_РС ∙ Х₂∙ Х₃ + V_СС ∙ Х₃² → min

В итоге модель выглядит следующим образом:

Найти х₁, х₂, х₃)

0,0222 ∙х₁ + 0,0154 ∙ х₂ + 0,0257 ∙ х₃ ≥ 0,0248

х₁ + х₂ + х₃ ≤ 1

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0

Z = 0,00326х₁² + 2 ∙ 0,00175 ∙ х₁∙ х₂ + 2 ∙ 0,00300 х₁∙ х₃ + 0,00703 х₂² +

+ 2∙ 0,00245 ∙ х₂∙ х₃ + 0,00739 х₃² → min

Полученная экономико-математическая модель относится к классу задач нелинейного программирования.¹² Поэтому для ее решения воспользуемся надстройкой «Поиск решения» в среде Excel. Расчеты представлены в Приложении Г. По данным вычислениям можно сделать вывод о том, что инвестору следует вложить 25,3% (75900 руб.) имеющего капитала в акции ОАО «Лукойл», 74,7% (224100 руб.) в акции ОАО «Сбербанк», а акции ОАО «Роснефть» вообще не стоит приобретать. Найдем количество акций, которое следует приобрести инвестору по сегодняшнему курсу продажи, чтобы с минимальным риском получить в предстоящем месяце доход от портфеля не менее 2,48% на вложенный капитал. В портфеле должно быть:

75900 : 2035,9 = 37 акций ОАО «Лукойл»

224100 : 101,39 = 2210 акций ОАО «Сбербанк».

В данном примере рассмотрен один вариант формирования портфеля ценных бумаг. При помощи составленной модели, изменяя первоначальные данные (то есть рассмотреть других эмитентов), можно получить различные варианты портфелей. На их основе можно построить эффективную границу Марковица и выбрать оптимальный вариант портфеля в зависимости от «желаний» инвестора, его отношения к риску и от желаемой доходности.

Проведя данные расчеты, можно сделать вывод о том, что модель Марковица в основном применима на первоначальном этапе формирования портфеля, то есть с ее помощью проводится анализ основных характеристик: математического ожидания, дисперсии и ковариации доходности акций различных эмитентов. Ключевым моментом в концепции Г. Марковица является диверсификация. Диверсификация предполагает включение в состав портфеля акций различных эмитентов таким образом, чтобы корреляция («взаимозависимость») их доходности была низкой, а лучше отрицательной. Но, к сожалению, активов с малой и отрицательной корреляцией существует совсем немного. Для того чтобы найти действительно рассогласованные типы активов, их нужно искать в разных классах: акциях, облигациях, недвижимости, валютах и т. д.

Также следует отметить, что Г. Марковиц рассматривает данную модель в отношении портфеля, состоящего только из акций

Расчеты при формировании портфеля ценных бумаг с помощью модели Г. Марковица очень трудоемки, особенно при рассмотрении большого количества акций. Решение данной проблемы предложил У. Шарп в своей модели формирования портфеля ценных бумаг.