Ефект метелика

Фазові траєкторії, що починаються в будь-якій точці спочатку, здавалося б, притягаються до однієї з стаціонарних точок, але не можуть підійти надто близько, оскільки стаціонарна точка нестійка. В якийсь момент фазова траєкторія перестрибує в окіл іншої стаціонарної точки, але там теж не може затриматися, й знову перестрибує до першої стаціонарної точки. Як наслідок, система безупинно аперіодично перестрибує від однієї точки до іншої.

Фазові траєкторії чутливі до щонайменшої зміни початкових умов. Дві нескінченно близькі початкові точки в фазовому просторі з часом розходяться.

В 1983 році Грассбергер та Прокаччія оцінили ^[5] розмірність Хаусдорфа дивного атрактора Лоренца і одержали величину  .

При дуже великих значеннях  ,   динаміка системи Лоренца описується звичайними граничними циклами. Зокрема, при  ,  ,   утворюється граничний цикл, що має вигляд вузлового тора  . При зменшенні   перехід до хаотичного режиму відбувається чарез каскад біфуркацій подвоєння періоду.

Водночас, фазові траєкторії не можуть втекти на нескінченність, оскільки при великих X, Y, Z виникають сили, що повертають фазові траєкторії в область малих значень змінних. Якщо домножити перше рівняння Лоренца на  , друге - на  , а третє - на  , то а потім додати всі три рівняння, то результат можна записати як

Поверхня, що задається нерівністю  має вигляд еліпсоїда із зміщеним центром мас. Не складно здогадатися, що за будь-якого вибору початкових умов, еволюція системи на атракторі не призведе до виходу за межі одного з таких еліпсоїдів. Квазіперіодичних коливань в системі Лоренца бути не може за жодних умов.

Дивні атрактори

В тривимірному просторі станів існують ще й атрактори неперіодичні. Це так звані дивні атрактори - атрактори, відмінні від стаціонарної точки, граничного циклу і двовимірного тора.

      У разі дивного аттрактора також відбувається стиснення фазового об'єму дисипативної динамічної системи, що приводить до того, що фазові траєкторії з плином часу стягуються до граничного безлічі - дивним аттрактору - і, потрапивши в область, зайняту їм, залишаються в ній назавжди. Однак на самому аттрактору рух є нестійким. Інакше кажучи, поведінка системи з дивним аттракторів характеризується поєднанням глобального стиску фазового об'єму з локальної нестійкістю фазових траєкторій.

      Фазові траєкторії дивного аттрактора дуже чутливі до початкових даними. Поєднання сильної залежності від початкових даних з наближеним їх значенням обумовлює неможливість точних довгострокових прогнозів щодо еволюції систем з дивним аттракторів.

Дивний аттрактор - це аттрактор, що має дві істотні відмінності від звичайного аттрактора: траєкторія такого атрактора неперіодичних (вона не замикається) і режим функціонування нестійкий (малі відхилення від режиму наростають). Основним критерієм хаотичності аттрактора є експоненційний наростання в часі малих збурень. Наслідком цього є «перемішування» в системі, неперіодичних в часі будь-який з координат системи, суцільний спектр потужності і спадна в часі автокореляційна функція.

Соленоїд Смейла - Вільямса - приклад оборотної динамічної системи, аналогічної по поведінці траєкторій відображенню подвоєння на окружності.

Б ільш точно, ця динамічна система визначена на полноторіі, і за одну її ітерацію кутова координата подвоюється; звідки автоматично виникає експоненційний розбігання траєкторій і хаотичність динаміки. Також соленоїдом називають і максимальний аттрактор цієї системи (звідки, власне, й походить назва): він влаштований як (незліченну) об'єднання «ниток», намотують уздовж полноторія.

П риклад Боуена, або гетероклініческій аттрактор - запропонований Р. Боуен приклад динамічної системи, в якій у майже будь-якої початкової точки відсутні тимчасові середні, і, тим самим, для якої немає міри Синая-Рюелля-Боуена. Цей приклад - векторне поле на площині, що має дві особливі точки-сідла, витікаюча сепаратріси кожного з яких виявляється одночасно входить сепаратріси іншого. На власні значення сідел при цьому накладаються певні обмеження.