8. Функция нескольких переменных
Пусть D⊂ – область в
f:
D
:
X
z
= f(X)
,
где X=(x1,
x2,
…, xn)
называется функцией нескольких
переменных. В этом случае D
– область определения [D(f)].
9. Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных
⊐ дана
функция двух переменных z
=f
(x,
y).
Графиком этой функции называют
поверхность Г = {(x,
y,
z)
|
(x,
y)
D
| z
=f
(x,
y)}.
Линией уровня функции f
(x,
y)
называют линию на плоскости xOy,
во всех точках которой функция принимает
постоянное значение c.
Таким образом, для заданного c
линия уровня удовлетворяет уравнению
f
(x,
y)
= с. Она является границей между двумя
областями: f
(x,
y)
<c, где значения функции меньше c,
и f
(x,
y)>
c,
где значения больше c.
Для
функции трёх переменных u=f
(x,
y,
z)
уравнение f
(x,
y,
z)
=с при фиксированной константе с
определяет поверхность в
б
которую называют поверхностью уровня
функции f
(x,
y,
z).
10. Предел функции нескольких переменных
Определение 1.
Число a называется пределом функции f(X) =
= f (x1, x2, …, xn) в точке М (m1, m2, …, mn), если для любой сходящейся последовательности точек {Xk} к M последовательность значений функции сходится к числу a.
{f(Xk)}
a,
{Xk}:
Xk
M
Xk D(f)
⇒
.
Замечание: это определение можно легко распространять на случай, когда некоторые из чисел a, m1, m2, …, mn, или все они бесконечны.
Определение 2.
X= (x1, x2, …, xn), М (m1, m2, …, mn)
Функция
f(X)
имеет своим пределом число a
при стремлении X
,
если
>
0,
| из выполнимости неравенств
⇒ |f(X)-a|
<
(M,
X) =
|
: 0<
(X,
M)<
⇒|
f(x) -a|
<
| xi - mi|< (X, M)<
11. Непрерывность функции нескольких переменных.
Пусть z = f(X) =f(x1,…,xn) задана на D ⊂ Rn. X0∊ D.
Функция z = f(X) непрерывна в точке X0, если limX→X0 f(X)=f(X0). По опр. предела функции в X0:
ф-я
z
= f(X)
непрерывна в X0,
если ∀
>0
E
δ(
| ∀ X:0
< ρ(x,x0)
< δ
→|f(X)-f(X0)|<
.
f(X)=f(X)-f(X0)
– полное приращение ф-и в X0.
ρ(x,x0)
< δ
→
f(X) непрерывна в X0, если беск. малым приращением независимых переменных соотв. беск. малое приращение функции.
12. Св-ва функций, непрерывных на замк. огр.мн-ве
1) если f(X) непрерывна на замкнутом множестве D ⊂ Rn , то она ограничена на этом множестве.
2) т. Вейерштрасса: если f(X) непрерывна на замкнутом ограниченном мн-ве D, то она достигает на мн-ве наиб и наим значения.
3) непрерывная ф-я от непрерывных ф-й непрерывна.
4) любая элементарная ф-я нескольких пер-х непрерывна в своей обл. определения
13. Частные производные ф-и нескольких переменных.
Пусть z=f(x,y) – ф-я двух пер-х, опр. на мн-ве D ⊂ R2 . X(x,y) D, X0(x0,y0) D
– полное приращение
f(x,y)
в точке X0(x0,y0).
Частными производными ф-и f(x,y) в точке X0(x0,y0) называется:
fx`(
)=
fy`(
)=
14. Дифференцируемость функции нескольких переменных
Функция z=f(x,y) называется дифф. в точке (x0,y0), если ее полное приращение в этой точке можно записать в виде
)=
15. Дифференциал функции нескольких переменных.
Дифференциалом
ф-и z=f(x,y)
в точке (x0,y0)
называется главная линейная относительная
часть
и
приращения функции
Считая, что
Аналогично
для ф-и n
переменных дифф. ф-и имеет вид
16. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных
Теорема
Если функция z=f(X) имеет частные производные в некоторой окрестности точки X0, то эта функция дифференцируема в точке X0.
17. Непрерывность дифференцируемой функции
Теорема
Если функция z=f(X) дифференцируема в точке X0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство
⊐ z
= f
(x,
y)
дифференцируема в
).
Тогда её приращение в этой точке, можно
записать:
)=
f 'x
x
+ f 'y
y+
+
(
x;
y)
=
=
*0
+
*0
+ 0 ⇒
f(x,
y)
непрерывна в точке
),
где
и
бесконечно малые функции. Аналогично
доказывается в случае n>2
18. Однородные функции
Функция z = f(X) = f (x1, x2, …, xn), определённая в области D, называется однородной функцией степени , если
для
X
и
t
такого, что N(
,
,
…,
)
=
f(x1,
x2,
…, xn)
19. Формула Эйлера для однородной функции.
Теорема Эйлера
⊐ z=f(X) является дифференцируемой функцией степени , определённая на области D. Тогда справедливо равенство:
x1
+
x2
+ … +
xn
=
z
Доказательство
X (x1, x2, …, xn)∈D
Рассмотрим сложную функцию f ( , , …, ). По теореме о дифференцируемости сложной функции эта функция будет дифференцируема по переменной t. Применим дифференцирование к равенству:
f ( , , …, ) = f(x1, x2, …, xn)
*
+
*
+ … +
*
=
=
f(x1,
x2,
…, xn)
* x1 + * x2 + … + * xn = f(x1, x2, …, xn)
⊐ t=1 ⇒ * x1 + * x2 + … + * xn=
= f(x1, x2, …, xn)
z = f (x, y) – однородная дифференцируемая функция степени .
*x + *y = f (x, y).