6. Предел функции.Теорема о пределе суммы, произведения и частного двух функций.

Число A называется пределом функции y = f(x) при x → ∞, если для любого, даже сколь угодно малого положительного ε, найдется такое число M (зависящее от ε), что для всех x, по абсолютной величине больших M, выполнено неравенство: |f(x) - A| < є.

Предел функции в точке:

Число A называется пределом функции y = f(x) при x → a, если для любого, даже сколь угодно малого ε > 0, найдется такое число δ > 0 (зависящее от ε), что для всех x из δ-окрестности точки a, выполнено неравенство: |f(x) - A| < є.

Теоремы:

1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов: .

Доказательство:

Пусть  , . Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать:   и . Следовательно,  , где   - бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций). Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать  , или  .

2)Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: .

Доказательство:

Пусть  , . Тогда   и  . Следовательно

,

.

Выражения в скобках, по свойствам бесконечно малых функций, - бесконечно малая функция. Тогда  , т.е.  .

2)Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен: .

Доказательство:

Пусть  , . Тогда   и  . Тогда  . По свойствам бесконечно малых функций, второе слагаемое – бесконечно малая функция.

Поэтому  , т.е. 

7. Посл-ти. Св-во. Т о единств. Предела посл-ти.

Опр. Всякое отображение f:NX наз-ся посл-тью эл-ов мн-ва X. Эл-т f(n) – обозн через x_n и наз-ся n-ым эл-ом посл-ти f:NX, а сама эта посл-ть x_n=f(n) – обозн. через {x_n} и x_n, n=1,2,3... f(n) – формула общего члена посл-ти. Если f(n)=a – стационарная посл-ть. Опр. если мн-во XR, то тогда посл-ть f: NXR наз. числов посл-тью. Св-ва числ. посл-ти. 1) {zn}={xn}{yn}={xnyn} 2) {zn}={xn}*/{yn}={xn*/yn} 4) xn – огранич посл-ть если mxnM. 5) xn – монотон. посл-ть. Опр.

Теорема. Посл-ть точек числ. расширенной чил.прямой может иметь на этой прямой только 1 предел. Д-во.(от противного). Пусть

8. Теоремы Лагранжа, Роля и Ферма о дифференцируемых функциях.

T. Ферма: Если ф-ия y=f(x) определена в некотр. окр. т. , принимает наиб. (наим.) знач. в т. и диф-ма в этой т., то её произв. в этой т. равна 0.

Д-во: Пусть f( ) наиб. знач. x окр. следов. f(x) f( ); f(x) -f( )≤0, x< (x- <0)

; x> ; ; ; , т.к ф-ия f(x) диф-ма в т. , это означ., что .

T. Роля: Если ф-ия f(x): 1) непрерывна на [a;b] 2) диф-ма на (a;b) 3) приним. на концах [a;b] равна знач., то тогда сущ. хотя бы одна т.

Д-во: из вып. 1) , , m ; из вып.3) следует m=M f(x)=const Пусть ф-ия приним. наиб. или наим. знач. внутри отр. m Пусть f( )=M, тогда рассм. окресн. т. ; f- опр., наиб.знач., диф-ма, следов.по Т. Ферма .

Т. Лагранжа

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b] и сущ-ет конечная производная f’(x) по крайней мере в открытом промежутке (a,b). Тогда между a и b найд-ся точка c что для нее выполн-ся: (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c)

Д-во. Введем вспомог-ую функцию, определив ее на отрезке [a,b] равенством F(x)=f(x)-f(a)-(f(x)-f(a))* (x-a)/(b-a). Эта ф-ия непрерывна на [a,b]. В промежутке (a,b) она имеет производную F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Непосредст-ой подстановкой убеждаемся в том что F(a)=F(b)=0, т.е. F(X) принимает равные значения на концах пром-ка. Сл-но, к функции F(x) можно применить теорему Ролля и утверждать сущ-ие в (a,b) такой точки c что F’(c)=0. Т.о получаем f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0 ЧТД.