Событие b, в свою очередь может быть представлено так:
C = · ·
(см. определение произведения событий). Поэтому, окончательно имеем
C = + · B · B .
Задачи для самостоятельной работы
Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие – исправна машина, события
(k
= 1, 2) – исправлен k-й
котёл. Событие C
означает работоспособность
машинно-котельной установки, что будет
в том случае, если исправны машина и
хотя бы один котёл. Выразить события
C
и
через
и
.
Судно имеет одно рулевое устройство, четыре котла и две турбины. Событие означает исправность рулевого устройства. Событие (k = 1, 2, 3) – исправность k-го котла, а C
(
j
= 1, 2) - исправность j-й
турбины. Событие D
– судно управляемое, что будет в том
случае, когда исправны рулевое
устройство, хотя бы один котёл и хотя
бы одна турбина. Выразить события D
и
через
,
B
и C
.
1.3. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трёх блоков второго типа. События: (k = 1, 2) – исправлен k-й блок первого типа, B (j = 1, 2, 3) – исправлен j-й блок второго типа. Прибор исправлен, если исправлены хотя бы
5
один
блок первого типа и не менее двух блоков
второго типа. Выразить событие C,
означающее исправность прибора, через
и B
.
1.4. Рабочий обслуживает три станка. Событие, заключающееся в том, что в течение часа первый станок потребует внимание рабочего - , второй - , третий - .
B – событие, заключается в том, что в течение часа точно один станок потребует внимания рабочего;
C – хотя бы один станок потребует внимания рабочего;
D – ни один станок не потребует внимания рабочего.
Выразить
каждое из событий B,
C
и D
через
,
k=1,
2, 3.
§2. Вероятное пространство. Аксиоматическое определение вероятности. Классическая схема
Пространством элементарных событий называется множество всех взаимно исключающихся исходов испытания.
Имеется очень удобная и наглядная модель представления событий. В этой модели достоверное событие изображается в виде некоторой области на плоскости (рис. 2), а все другие события, связанные с данным испытанием, - в виде отдельных частей этой области. При таком подходе естественно не различать пространство элементарных событий и достоверное событие. Поэтому в дальнейшем пространство элементарных событий будет также обозначать Ω. В этой схеме сумма событий – есть объединение множеств, а произведение – их пересечение.
Рис. 2
На нашем рисунке: событие – множество точек треугольника (большого), +B – это объединение всех точек прямоугольника и всех точек треугольника, ·B – их общая часть (изображена закрашенным прямоугольным треугольником).
6
Пусть Ω - пространство элементарных событий и M – множество всех подмножеств Ω. Система S событий, выделенная из M, называется алгеброй событий, если:
1)
Ω
S;
2)
,
B
S
+ B и
· B
S;
3)
S
S .
Заметим, что Ø
S так как Ø =
.
Теперь каждому событию S поставим в соответствие число, характеризующее объективную возможность появления события , то есть на множестве S определим числовую функцию P ( ).
Определение. Числовая функция P ( ), определённая на множестве S, называется вероятностью, если она удовлетворяет условиям:
1) P
(
)
0
S;
2) P (Ω) = 1;
3) P ( + B) = P ( ) + P (B), если · B = Ø.
Соотношения 1) – 3) называются аксиомами вероятности; в частности, 3) называется аксиомой сложения.
Конкретное определение вероятности может даваться различными способами.
Если выбраны пространство элементарных событий Ω, алгебра событий S, и вероятность P, определённая на S, то говорят, что задано вероятностное пространство (Ω, S, P).
Важные свойства вероятности:
1)
P (
)
1
S;
2) P (Ø) = 0;
3) P ( ) = 1- P ( ).