Паралельність прямих і площин.

Тема 1.1 : Розміщення двох прямих у просторі. Ознака паралельності прямих

Каким может быть взаимное расположение прямих на плоскости? (бесіда)

1 ) 2) 3) b

a

a b a

a b b

  



a || b a=b a  b a  b

7. Вивчення нового матеріалу:

1. Опр: Прямые в пространстве параллельны (a || b), если они:

   1. н е пересекаются

   2. л ежат в одной плоскости

a || b

2. Опр: Прямые в пространстве пересекаются, если они:

1) различны

2. имеют одну общую точку

По С₃ пересекающиеся пряме лежат в одной плоскости

3. Опр: Прямые в пространстве совпадают, если у них более одной общей точки.

a b a=b

4. Опр: Прямые в пространстве скрещиваются, если они: х у

1) не пересекаются

2) не лежат в одной плоскости

Вывод:

В пространстве параллельные и пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости.

Свойство параллельных прямых:

Т.2.1: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Аа, Ав, ав

Анализ доказательства:1) строим  по Т.1

2) Ав, где ав



Решение задач:

№11. Доказать, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

В

В₁ Дано: А, В, С, Д не лежат в 

С АА₁₌А₁В ВВ₁=В₁С СС₁=С₁Д ДД₁=Д₁А

А₁

Доказать: А ₁В ₁С ₁ Д₁ - параллелограмм

С₁

А

Д₁

Д Доказательство:

1. Черех точки А, В, С строим плоскость  по Т.3. АВС – плоский, А₁В₁ – средняя линия по условию задачи. Следовательно, А₁В₁АС

2. Аналогично, С₁Д₁АС как средняя линия плоского АСД в плоскости β=(АСД)

3. По признаку параллельности прямих А₁В₁ С₁Д₁ лежат в одной плоскости.

4. А₁Д₁ВД – средняя линия АВД

5. В₁С₁ВД – средняя линия ВСД

6. А₁Д₁В₁С₁ по признаку парал.прямых

7. В четырёхугольнике А₁В₁С₁Д₁ стороны попарно параллельны и лежат в одной плоскості- дання фігура явл. параллелограмм.

№1. Прямые АВ и СД скрещиваются. Доказать, что прямые АС и ВД тоже скрещиваются.

Анализ решения: Т.к. АВ и СД скрещиваются, то точки А.В.С, Д не лежат в одной плоскости.

Используя метод доказательства от противного, пусть АС и ВД не явл. скрещивающимися.

Тогда данные прямые либо параллельны, либо пересекаются. В этом случае то точки А.В.С, Д лежат в одной плоскости, что противоречит условию задачи, т.к. прямые АВ и СД скрещиваются.

№5. Через концы отрезка АВ и его середину точку М проведены параллельные пряме, пересекающие некоторую плоскость в точках А₁, В₁, М_1. Найти длину отрезка ММ₁, если отрезок АВ не пересекает плоскость и АА₁=а, ВВ₁=в.

А М β В Дано: АВ не пересекается с α, АМ=МВ,

АА_1‌‌‌ ММ₁ВВ₁, АА₁=а, ВВ₁=в

Найти: ММ_1.

Решение:

1. Т.к. АА_1‌‌‌ ММ₁ВВ_1, то данные прямые лежат в одной плоскости β.

2. Фигура АА₁В₁В – трапеция с основаниями АА₁ и ВВ₁, боковыми сторонами АВ и А₁В₁, средней линией ММ₁, что следует из условия задачи по теореме Фалеса (если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной стороне равные отрезки, то они отсекают и на другой стороне равные отрезки, т.е. А₁М₁=М₁В₁).

ММ₁=(АА₁+ВВ₁): 2=(а+в):2

Ответ: (а+в):2

№7.Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка ВВ₁, если 1) СС₁=15 см, АС:ВС=2:3, 2) СС₁=8,1 см, АВ:АС=11:9, 3) АВ=6 см,

АС:СС₁= 2:5, 4) АС=а, ВС=в, СС₁=с.

Дано: АВ, Аα, САВ, СС₁ВВ_1, С_1,В₁α

Найти BB₁ В

Решение С

1. С троим СС₁ВВ₁, плоскость β, ,

2) В β рассматриваем подобный

3) , коэффициент пропорциональности х. Тогда

АС=2х ВС=3х, АВ=АС+ВС=5х А

, ВВ₁=СС₁*2,5=15*2,5=37,5 см С₁ В₁

если АС=а, ВС=в, СС₁=с, тогда АВ=а+в ,

№27 Параллелограммы АВСД и АВС₁Д₁ лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник СДД₁С₁ тоже параллелограмм.

Дано: (АВСД) (А₁В₁С₁Д₁)

Доказать:

СДД₁С₁- параллелограмм

Анализ

АВ=СД, АВ=С₁Д₁ – стороны параллелограмма

СД=С₁Д₁ (пр. прямых ) : АВСД АВС₁Д₁

С₁Д₁СД.

Противоположные стороны параллельны и равны,

Следовательно ДСС₁Д₁ - параллелограмм