Введение

Закономерности движения частиц дисперсной смеси (твердых частиц, капель и пузырьков) в потоке жидкости или газа представляют интерес для решения ряда практических и технологических задач, связанных с обтеканием одиночной сферы бесконечным потоком. Понимание динамики и основных закономерностей движения частиц является важным в задачах экологии, в природных явлениях, в некоторых технологических процессах. В качестве примеров можно привести процессы седиментации, барботажа, флотации, очистка и прогнозирование распространения дымовых газов из труб промышленных предприятий и тепловых электростанций, предотвращение взрывов угольной пыли в шахтах, распространение облака жидко-капельного аэрозоля и т.д.

Интерес к данной проблеме связан также с экспериментальными и теоретическими трудностями моделирования движения двухфазной системы ввиду сложности регистрирования быстропротекающих процессов и малых значений динамических параметров, требующих использование чувствительных элементов, и корректного построения моделей с учетом нестационарных слагаемых в уравнении движения, соответственно.

1.1. Проблема учета «наследственной» силы Бассе и обзор работ, посвященной этой проблеме

Уравнение движения частицы дисперсной фазы в общем виде записывается следующим образом [1]:

(1)

где – сила Архимеда; – сила тяжести; – сила сопротивления; – плотность дисперсионной среды; – ускорение свободного падения; – масса частицы; – диаметр частицы; – плотность материала частицы.

Силу сопротивления в уравнении (1) можно вычислить, используя уравнение неразрывности и Навье-Стокса для вязкой жидкости

,

(2)

где – давление; – вектор скорости частицы; , – набла-оператор и Лапласиан, соответственно. В пренебрежении двумя последними слагаемыми в уравнении (2), задача решена Стоксом и сила задается выражением, называемым силой Стокса

, (3)

где – коэффициент динамической вязкости жидкости; – скорость движения частицы дисперсной фазы. Позднее в пренебрежении только вторым членом в левой части уравнения (2), Бассе было показано, что сила сопротивления в уравнении (1) складывается из трех слагаемых: силы Стокса , силы присоединенной массы и силы, связанной с предысторией движения – «наследственной» силы Бассе , возникающей «из-за нестационарности вязкого погранслоя вокруг частицы» [2, 11]

, (4)

где

, . (5)

В большинстве практических задач слагаемыми и можно пренебречь, в частности, для случая движения твердых тяжелых частиц в газе, когда и . Однако в ряде случаев необходимо учитывать нестационарные и «наследственные» эффекты при составлении уравнения движения частицы дисперсной фазы. В частности, в задачах движения одиночной частицы или группы частиц в поле силы тяжести, в задачах очистки воздуха или жидкости от взвешенных твердых частиц, при моделировании динамики пузырьков или осадочных пород (нефти, газа) в геофизических исследованиях.

Учет силы Бассе (5) превращает дифференциальное уравнение движения частицы в интегро-дифференциальное, что существенно осложняет задачу. Для двух случаев в [11] получены аналитические решения для : для случая равноускоренного движения шара по закону: при , при (где =const) и для шара, мгновенно приведенного в равномерное движение ( при , при ). Выражение (4) для данных случаев записывается в следующем виде, соответственно,

, (6)

, (7)

где – радиус шара (частицы); – коэффициент кинематической вязкости дисперсионной среды; – -функция; – стационарная скорость движения частицы. В уравнениях (6) и (7) первое слагаемое – сила, связанная с присоединенной массой , второе слагаемое – сила Стокса , третье слагаемое – сила Бассе . Однако уравнения (6)-(7) можно использовать только для сравнительной оценки вклада сил, поскольку закон движения задан априорно.

В последние десятилетия появилось большое количество публикаций [7-10, 12-23], посвященных теоретическому и экспериментальному исследованию динамического поведения системы жидкость-частица или газ-частица. Это связано с возрастающим количеством практических приложений, в которых необходимы адекватные модели движения и взаимодействия дисперсной и дисперсионной сред.

Впервые уравнения движения частиц при малых числах Рейнольдса были сформулированы в работах Бассе [3], Буссинеска [4], Озеена [5]. В пренебрежении влиянием стенок движение сферической частицы малого диаметра (порядка 1 мкм) в жидкости может быть описано уравнением Бассе-Бусинеска-Озеена [6]. Позднее в исследованиях Maxey M.X. и Riley J.J. [7] получено уточненное уравнение движения твердой сферы под действием силы тяжести при малых числах Рейнольдса

(8)

где – присоединенная масса жидкости; – скорость несущей среды (жидкости); – ускорение жидкости.

Для численного решения полного интегро-дифференциального уравнения движения частицы (8) известны различные подходы. Первый подход, впервые предложенный в работе [8], основан на преобразовании интегро-дифференциального уравнения (8) к дифференциальному уравнению 2-го порядка

где – отношение плотности жидкости и частицы; ; – единичный вектор, направленный противоположно силе тяжести. Данное уравнение применимо при условии, что начальная скорость частицы равняется нулю и отношение плотностей фаз удовлетворяет неравенству . Второй подход описан в работе [9] и заключается в разбиении интеграла на две части

.

Авторами работы [10] предложен новый численный метод, называемый «window model», для расчета интеграла в силе Бассе. Он основывается на идее, что сила Бассе существенна только на начальном участке движения частицы, поэтому предложено интегрировать силу Бассе в меньшем пределе.

Обзор научной литературы по вопросу движения частицы дисперсной фазы (твердой частицы, капли или пузырька), показал, что большинство работ посвящено теоретическому исследованию; экспериментальных работ по данному вопросу существует ограниченное количество. При этом среди недавних экспериментальных работах [16, 18, 21, 22, 25], посвященных исследованию скорости движения дисперсной частицы, полученные результаты противоречивы. В работе [18] показано, что влияние нестационарных эффектов при равноускоренном прямолинейном движении частицы с нулевой начальной скоростью мало и им можно пренебречь. Однако результаты экспериментов в работах [16, 21, 22, 25] свидетельствуют о том, что «наследственная» сила и сила, связанная с присоединенной массой, приводит к увеличению времени установления квазистационарного участка движения и уменьшению искомой скорости частицы на нестационарном участке.