4. Оценка определенного интеграла с помощью теорем о среднем

1. Оценить интеграл .

Решение:

, , отсюда и .

2. Оценить интеграл .

Решение. По теореме о среднем значении данный интеграл находится в промежутке , где b, a – соответственно верхний и нижний пределы интегрирования; M, m – соответственно верхняя и нижняя грани подынтегральной функции f. Преобразуем подынтегральную функцию f:

.

Оценим получившуюся функцию: т.к. при любых значениях x , следовательно , а значит .

Тогда ;

.

3. Определить среднее значение функции на сегменте .

Решение:

.

5. Восстановление функции по ее производной или дифференциалу

1. Найти значения коэффициентов a и b, при которых функция

удовлетворяет условиям

;

Решение:

2. Найти значение , при котором функция удовлетворяет условию .

Решение. Найдем . Получим, = .

Подставив в производную , имеем

Так как , то, решая уравнение , находим, что .

6. Свойства определенного интеграла с переменным верхним пределом и нахождение производной от него

1. Найти производную от интеграла

.

Решение:

.

2. Найти производную функции

.

Решение:

3. Найти производную функции

.

Решение:

.

7. Условия существования и свойства интеграла Стилтьеса

1. Оценить интеграл

.

Решение:

, откуда и

.

8. С помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница

1. Вычислить

.

Решение:

2. Вычислить значение интеграла

.

Решение:

.

9. С помощью свойств определенного интеграла по симметричному промежутку от четной и нечетной функции

1. Вычислить значение интеграла

.

Решение. Так как четная функция, то пределы интегрирования можно сменить на 0 и 4, а сам интеграл домножить на 2:

.

2. Вычислить интеграл

.

Решение. Т.к. подынтегральная функция нечетная, то по свойству определенного интеграла, интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю: .

3. Верно ли равенство

.

Решение. Данное равенство будут верным тогда и только тогда, когда подынтегральная функция четная (по свойству определенного интеграла об интегрируемости четных функций по симметричному отрезку). Функция – четная функция, следовательно

,

т.е. равенство верно.

Также данное тождество можно доказать «напрямую», найдя интегралы левой и правой части (используя метод интегрирования по частям).

10. В случае, когда интегральная функция содержит знаки модуля

1. Вычислить

.

Решение. Разобьем интеграл на сумму интегралов и по пределам интегрирования раскроем модули:

2. Вычислить

.

Решение:

– интеграл четной функции по симметричному промежутку, следовательно

.

3. Вычислить интеграл

Решение. Сгруппируем четные и нечетные слагаемые в числителе подынтегральной функции и представим интеграл в виде суммы:

Подынтегральная функция второго из данных интегралов нечетная, этот интеграл равен 0.

Вычислим первый интеграл:

Таким образом,

11. Интегрирование по частям в определенном интеграле

1. Вычислить значение интеграла .

Решение:

.

2. Вычислить интеграл .

Решение:

2. Вычислить интеграл .

Решение:

= .

Тогда, интеграл равен = .

12. Замена переменного в определенном интеграле

1. Вычислить

.

Решение:

Сделаем замену переменной и проинтегрируем по частям

2. Вычислить

.

Решение:

13. Вычисление площади криволинейной трапеции

1. Найти площадь, образованную одной аркой синусоиды.

Решение:

.

2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , на отрезке .

Решение:

.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

, и .

Решение:

Построим данную фигуру.

Составим интеграл:

.

14. Вычисление площади криволинейного сектора

1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой при .

Решение:

.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (a>0) и лучами , .

Решение. Заданная функция непрерывна на отрезке и площадь этой фигуры будет равна .

15. Вычисление длины дуги плоской кривой в случае параметрического задания кривой

1. Вычислить длину астроиды .

Решение. В силу симметричности астроиды относительно координатных осей, ее длина равна длине ее части, лежащей на отрезке , увеличенной в четыре раза.

2. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически

,

.

Решение:

,

_.

16. Вычисление длины дуги плоской кривой в случае явного задания кривой

1. Вычислить длину дуги , .

Решение:

.

2. Найти длину участка кривой , если .

Решение.

Применяем формулу

.

17. Вычисление длины дуги плоской кривой в случае полярного задания кривой

1. Вычислить длину дуги, заданной уравнением , где (спираль Архимеда).

Решение:

2.Найти длину дуги заданной кривой , где .

Решение:

.

18. Вычисление длины дуги плоской кривой и площади плоской фигуры в случае полярного задания кривой в виде φ = φ (r)

1. Найти длину дуги кривой заданной в виде , где .

Решение:

19. Вычисление площади поверхности вращения

1. Найти площадь поверхности вращения, полученной вращением вокруг оси Оx одной арки синусоиды .

Решение:

.

Сделаем замену переменной и проинтегрируем по частям

20. Вычисление объема тела вращения

1. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx одной арки синусоиды .

Решение:

.

2. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox плоской фигуры, ограниченной графиками функций и на промежутке .

Решение. Т.к. на промежутке график функции находится выше графика функции , то объем искомого тела будет равен

.

3.

Н айти объем конуса (или что то же самое – объем вращения образующей конуса).

Решение: