Уравнение Циолковского

Рассмотрим движение ракеты в невесомости, т.е. . Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость ракеты . Масса ракеты вместе с топливом равна M, масса самой ракеты . Ракета при горении топлива может выбрасывать газы со скоростью u. Какую максимальную скорость v может развить ракета при полном расходовании топлива? Из уравнения Мещерского в этом случае получаем mdv = - udm, или Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения .

- уравнение Циолковского, где — число Циолковского. Чтобы ракета при существовавших на то время видах топлива развивала первую космической скорости 8 км /с, необходимо было иметь очень большое число , т.е. масса топлива во много раз должна была превышать массу оболочки ракеты. Чтобы избежать этого Циолковский предложил использовать многоступенчатые ракеты. После выгорания топлива в одной ступени ракеты эта ступень отбрасывается, и начинает работать следующая ступень ракеты. Циолковский таким образом предсказал полеты человека в космическое пространство.

Билет 9. Кинетическая энергия системы материальных точек, ее связь с работой сил. Теорема Кенига.

Кинетическая энергия (или энергия движения) определяется массами и скоростями рассматриваемых тел. Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы . Работа этой силы увеличивает кинетическую энергию материальной точки . Вычислим в этом случае малое приращение (дифференциал) кинетической энергии: . При вычислении использован второй закон Ньютона , а также - модуль скорости материальной точки. Тогда можно представить в виде: -- кинетическая энергия движущейся материальной точки.

Теперь рассмотрим связь кинетической энергии с работой. Если постоянная сила действует на тело, то оно будет двигаться в направлении силы. Тогда элементарная работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2, будет равна произведению силы F на перемещение dr : dA = F dr,  отсюда  , , . Окончательно получаем: . Следовательно, работа силы, приложенной к телу на пути r, численно равна изменению кинетической энергии этого тела: Или изменение кинетической энергии dK равно работе внешних сил: dK=dA.

Рассмотрим 2 с/сы отсчета S и S’, Кинетическую энергию тела относительно ИСО найдем, исходя из определения: E_к= m_iv_i²/2= m_i(V_c+v_i')²/2= m_iV_c²/2+  m_iv_i'²/2+ m_iV_cv_i'.

Полученное выражение представляет собой сумму трех слагаемых:

Кинетическая энергия твердого тела состоит из кинетической энергии его поступательного движения и энергии его движения E' относительно СО, связанной с центром масс. Это утверждение называется теоремой Кёнига. E_к = E' + M·V_c²/2.

Билет 10. Потенциальная энергия в поле центральных сил.

Силы, работа которых на замкнутом пути равна нулю, называется консервативными.

Потенциальная энергия (или энергия положения тел) определяется действием на тело консервативных сил и зависит только от положения тела. Мы видели, что работу силы тяжести при криволинейном движении материальной точки можно представить в виде разности значений функции , взятых в точке 1 и в точке 2: . Оказывается, что всегда, когда силы консервативны, работу этих сил на пути 1 2 можно представить в виде: . Функция , которая зависит только от положения тела – называется потенциальной энергией. – выражение для нахождения потенциальной энергии в случае центральных сил взаимодействия когда точки находятся на расстоянии r д/д. Тогда для элементарной работы получим – работа равна убыли потенциальной энергии. Иначе можно сказать, что работа совершается за счёт запаса потенциальной энергии. Величину , равную сумме кинетической и потенциальной энергий частицы, называют полной механической энергией тела: – полная механическая энергия тела. В заключении заметим, что используя второй закон Ньютона , дифференциал кинетической энергии можно представить в виде: . Дифференциал потенциальной энергии , как указывали выше, равен: . Таким образом, если сила – консервативная сила и отсутствуют другие внешние силы, то , т.е. в этом случае полная механическая энергия тела сохраняется.