1.2 Основна система методу переміщень
Розрахунок статично невизначуваної системи полягає в тому, що замість вихідної системи розглядається така створена з неї система, розрахунок якої можна здійснити за допомогою вже відомих засобів. Така нова система називається основною системою методу переміщень.
Основним елементом системи зручно вважати однопрогонову балку з будь-якими опорами на кінцях, для якої заздалегідь можна визначити напружено-деформований стан залежно від зовнішнього навантаження й переміщень її опор.
Тому для отримання основної системи методу переміщень треба перетворити вихідну статично невизначувану систему в набір однопрогонових балок постійної жорсткості з нерухомими опорами, які не дають змоги кінцям балок мати кутові та поступальні переміщення.
Для цього необхідно усунути можливість переміщень усіх вузлів системи.
Цієї мети досягають введенням у вузли системи додаткових в’язей двох видів:
1
.
Для
запобігання повороту всіх жорстких
вузлів (
)
до них встановлюються так звані рухомі,
або «плаваючі» затиснення . Це такі
умовні в’язі, які не дають змоги жорстким
вузлам повертатись, але не заважають
їхнім поступальним переміщенням.
2. Можливі поступальні переміщення вузлів системи виключаються встановленням додаткових опорних стержнів.
Отже, для побудови основної системи методу переміщень необхідно встановити «плаваючі» затиснення в усі жорсткі вузли та ввести додаткові опорні стержні в напрямки поступальних переміщень вузлів системи.
Для рами, що зображена на рис. 1.1 вставимо «плаваючі» затиснення в жорсткі вузли і , а в горизонтальному напрямку поступальних переміщень цих вузлів поставимо додатковий опорний стержень (рис. 1.3, а) і отримаємо основну систему методу переміщень.
Для рами, що зображена на рис. 1.2 (а), вставимо «плаваючі» затиснення в жорсткі вузли і , а в вертикальному напрямку поступальних переміщень цих вузлів поставимо додатковий опорний стержень (рис. 1.3, б) і одержимо основну систему методу переміщень.
а) система з плаваючими затисненнями для рами 1; б) система з плаваючими затисненнями для рами 2
Рисунок 1.3 – Системи з плаваючими затисненнями
В основних системах вихідні розрахункові схеми перетворюються в набори однопрогонових балок з нерухомими опорами.
Між вихідною статично невизначуваною розрахунковою схемою та її основною системою існують дві суперечності:
Жорсткі вузли вихідної системи можуть мати кутові та поступальні переміщення, а в основній системі ці переміщення усуваються додатковими в’язями.
У додаткових в’язях основної системи від зовнішнього навантаження виникають реактивні сили, яких немає у вихідній схемі через відсутність цих в’язей.
1.3 Еквівалентна система
Для усунення першої суперечності в основній системі, тобто для усунення відмін у деформаціях, створимо еквівалентну систему, тобто надамо додатковим в’язям поки що невідомі переміщення – жорсткі вузли разом із «плаваючими» затисненнями повертаємо на кути, що дорівнюють дійсним кутам повороту вузлів системи від зовнішнього навантаження, а додатковим опорним стержням даємо поступальні переміщення, які до-
рівнюють дійсним поступальним переміщенням вузлів вихідної системи.
Таким чином, основними невідомими методу переміщень є кути повороту жорстких вузлів системи та незалежні поступальні переміщення її вузлів. Ці невідомі методу переміщень позначаються літерами (і = 1, 2, 3…).
Усунувши першу суперечність у деформаціях між вихідною розрахунковою схемою й основною системою створимо еквівалентну систему.
Наприклад, для рами, що зображена на рис 1.1 (а) і 1.4 (а), яка тричі кінематично невизначувана, для усунення відмін у деформаціях вузлів надамо додатковим плаваючим в’язям (рис. 1.3, а, 1.4, б) невідомі кутові переміщення:, (кути повороту вузлів 1, 2), та – поступальне переміщення цих вузлів при зовнішньому навантаженні вихідної системи, і одержимо еквівалентну систему (рис. 1.4, в).
а) основна система; б) система з плаваючими в’язями; в) еквівалентна система
Рисунок 1.4 – Отримання еквівалентної системи для рами 1
Для
рами, що зображена на рис. 1.2 (а), 1.3 (б),
1.4 (а), яка тричі кінематично невизначувана,
еквівалентна система показана на рис.
1.5 (в). ,
– невідомі кутові переміщення вузлів
1, 2 та – поступальне переміщення цих
вузлів.
а) основна система; б) система з плаваючими в’язями; в) еквівалентна система
Рисунок 1.5 – Отримання еквівалентної системи для рами 2