17. Класифікація запитів.

За складністю запити поділяються на найпростіші, прості та складні. Зауважимо, що множина складних запитів може бути класифікована більш детально. Для класифікації найпростіших запитів введемо основну форму:

А ( O ) = V,

де А - ім'я атрибута або властивості, відносно якої формується запит, O - специфікація об'єкта запиту, V - значення, яке може набути атрибут об'єкта; замість знака "=" може бути використаний будь-який із знаків бінарних предикатів, що визначені для значень даної властивості об'єкта, наприклад: {<, >, =>, ...}.

Прості запити можна отримати з найпростіших (а також і простих) за допомогою логічних зв'язок ("або", "і", "ні"). Для побудови складних типів запитів необхідне використання кванторів існування та узагальнення.

Спочатку зробимо класифікацію найпростіших запитів. Для цього використаємо основну форму A(E) Q V, де Q = { }, A – атрибут, V –значення, Q – бінарний предикат, E – сам об’єкт, ключ.

Для прикладів використаємо таку модель: нехай є кілька кіосків, і в кожному місяці вони мають певний прибуток.

A – номер місяця.

E – номер кіоску.

V – значення прибутку кіоску за певний місяць (на перетині № кіоску і № місяця).

1. Прямий запит

A(E) = ? – відомий атрибут, відомий ключ. “Який прибуток був у кіоску №7 у березні?”. Результат – одне значення.

2. Інвертований запит

A(?) = V – відомий атрибут і відоме значення. “Знайти номери кіосків, у яких у березні був прибуток 8 тисяч”. Результат – множина.

3. ?(E) = V. “У якому місяці кіоск №17 мав прибуток 8 тисяч?”. Результат – множина.

4. ?(E) = ? (річний звіт). “Видати інформацію за рік по кіоску №17”.

5. A(?) = ?. “Видати інформацію по всім кіоскам за березень”.

6. ?(?) = V. “Видати інформацію про кіоски і місяці з прибутком 8 тисяч”.

7. ?(?) = ?. Повна інформація про все.

З найпростіших запитів формуються прості та складні запити. Прості запити – це найпростіші, що з’єднанні логічними зв’язками { }. Складні запити – це найпростіші, що з’єднанні зв’язками { }.

Більш формально:

1. Найпростіші запити часто включають селекцію і проекцію над єдиним відношенням, тобто специфікується деяка умова, якій повинні відповідати кортежі.

2. При простих запитах необхідно отримати природне з’єднання, з’єднання загального вигляду або декартів добуток декількох відношень, здійснити селекцію кортежів з побудованого відношення.

3. При складних запитах використовується деякий еквівалент квантору “для всіх”, який використовується для узагальнення простих запитів

18. Метод Фур’є розділення змінних (на прикладі рівнянь гіперболічного типу).

Одним з найбільш ефективних методів розв’язку багатомірних крайових задач є метод Фур’є.

Нехай оператор визначається диференціальним виразом: , і граничною умовою , причому функції задовольняють умови

, , , ,

, , , , ,

Вважаємо, що власні значення оператора додатні, , а відповідні власні функції , , , дійсні і утворюють повну ортогональну систему в просторі зі скалярним добутком з вагою , , .

Однорідне гіперболічне рівняння:

Розглянемо в нескінченному циліндрі змінних задачу для однорідного рівняння гіперболічного типу ; (1) ; ; (2) ; ; ; (3).

Сутність методу Фур’є полягає в наступному: побудуємо достатню кількість розв’язків рівняння (1), що представляються добутком (4) і задовольняють граничній умові (3); з цих розв’язків складемо лінійну комбінацію, що задовольняє початковим умовам (2), при деяких умовах логічно очікувати, що отримана лінійна комбінація буде задовольняти рівняння (1) і буде розв’язком задачі (1)-(3).

Від функції вимагатимемо, щоб вона задовольняла (3). Підставимо вираз (4) в рівняння (1) і поділивши його отримаємо:

. (5)

Ліва частина не залежить від , права – від . Отже кожна з величин не залежить ні від , ні від , тобто є константою. Позначимо . Отримаємо рівняння , (6) . (7) Ми розділили змінні. Розв’язок рівняння (6) повинен задовольняти граничній умові (3). Тому в якості і можна взяти власні функції і власні значення оператора . Загальний розв’язок рівняння (7) має вигляд , (8) де і – довільні константи. Таким чином, в силу (4) і (8) , (9) Складемо . (10) Коефіцієнти і виберемо таким чином, щоб ряд (10) формально задовольняв початковим умовам (2): , в силу повної ортонормальної системи , . (11) Для отримаємо розклад по власних функціях оператора . (12) Цей ряд назвемо формальним розв’язком змішаної задачі (1)-(3); -тий член ряду (12) дорівнює , , де , , , представляє собою гармонічні коливання з власною частотою і амплітудою . Послідовність чисел називається спектром власних частот системи, що коливається.

Неоднорідне гіперболічне рівняння:

(13) ; ; (2) ; ; ; (3).

При кожному розкладемо розв’язок задачі (13)-(2)-(3) в ряд Фур’є по власним функціях оператора .

, (14) В силу (2), (14) і (11) невідомі функції повинні задовольняти початкові умови:

, . (15)

В силу (14) функція задовольняє рівняння , , (16) де

(17).

Розв’язуючи задачу Коші для рівняння (16) з початковими умовами (15) маємо

(18).

Підставляючи вираз (18) в ряд (14), отримаємо формальний розв’язок змішаної задачі (13)-(2)-(3):

(19)

Перші два доданки ряду (19) є формальним розв’язком змішаної задачі, третій – розв’язок при .