Задание 1.3.
Дано уравнение f(x) = 1.5х+8sin(1.5х+2). Отделить корни в интервале [-5;5] и уточнить один из них методом параболической аппроксимации. Разработать блок – схему алгоритма используемого метода. Результаты представить в виде таблиц и графиков в координатах f(x) – x.
Решение
1.Отделение корней.
f(x) = 1.5х+8sin(1.5х+2)
2.Уточнение корней методом параболической аппроксимации.
Зададимся εз = 0.1 и выберем среднюю точку на интервале [2;4], в соответствии с методом параболической аппроксимации, а затем найдем функцию f(x) в этих точках.
,
x=2, f(2)= -4.671
x=3, f(3)= 6.221
x=4, f(4)= 13.915
Построим по этим точкам параболу, для этого найдем коэффициенты полинома 2-го порядка.
Построим параболу, проходящую через точки с координатами (2;-4.671), (3;6.221), (4;13.915).
Найдем корень на участке [2;4].
В результате решения уравнения найден корень хк1=2.3938 на участке [2;4]. Найдем значение функции в этой точке.
f(хк1) = 1.5∙2.3938+8sin(1.5∙2.3938+2)= -1.517
Используя новые точки (2;-4.671), (2.3938;-1.517), (3;6.221) построим новую параболу, для этого найдем коэффициенты полинома.
Построим параболу, проходящую через точки с координатами (2;-4.671), (2.3938;-1.517), (3;6.221).
Найдем корень.
В результате решения уравнения найден корень хк2=2.5376.
Определим погрешность:
R= хк2- хк1=2.5376-2.3938=0.1438
εр >εз; продолжаем расчет
Найдем значение функции в точке хк2=2.5376.
f(хк2) = 1.5∙2.5376+8sin(1.5∙2.5376+2)= 0.135
Используя новые точки (2.3938;-1.517), (2.5376;-4.671), (3;6.221) построим новую параболу, для этого найдем коэффициенты полинома.
Построим параболу, проходящую через точки с координатами (2.3938;-1.517), (2.5376;-4.671), (3;6.221).
Построим график функции через точки
Найдем корень.
В результате решения уравнения найден корень хк3=2.5261.
Определим погрешность:
εр= хк3- хк2=2.5261-2.5376= -0.0115
Так как R<εз то с погрешностью менее 0.1 принимаем корень хк=2.5261.
Задание 1.4.
По заданной функции f(x) = 1.5х+8sin(1.5х+2), в заданных интервалах рассчитать интеграл ∫ f(x)dx методом Чебышева и Гаусса (интервал [-5;5] разбить не менее чем на шесть подинтервалов).
Решение
Разделим интервал [-5; 5] на 8 подинтервалов с h = 1.25:
Примем k=4, и приведем переменную х к диапазону [-1;1],
,
1. Метод Чебышева.
Найдем значения интеграла на интервале [-5;-3.75]:
,
Найдем значения интеграла на интервале [-3.75;-2.5]:
,
Найдем значения интеграла на интервале [-2.5;1.25]:
Найдем значения интеграла на интервале [-1.25;0]:
Найдем значения интеграла на интервале [0;1.25]:
Найдем значения интеграла на интервале [1.25;2.5]:
Найдем значения интеграла на интервале [2.5;3.75]:
Найдем значения интеграла на интервале [3.75;5]:
Найдем значения интеграла на интервале [-5;5]:
2. Метод Гаусса
Найдем значения интеграла на интервале [-5;-3.75]:
Найдем значения интеграла на интервале [-3.75;-2.5]:
,
Найдем значения интеграла на интервале [-2.5;1.25]:
Найдем значения интеграла на интервале [-1.25;0]:
Найдем значения интеграла на интервале [0;1.25]:
Найдем значения интеграла на интервале [1.25;2.5]:
Найдем значения интеграла на интервале [2.5;3.75]:
Найдем значения интеграла на интервале [3.75;5]:
Найдем значения интеграла на интервале [-5;5]:
,
Ответ: 9.098
Задание 1.5.
Задана система
нелинейных уравнений:
,
решить ее методом итераций.
Решение
Преобразуем систему к виду:
Проверим выполнение условий сходимости:
,
,
,
,
Нетрудно заметить, что условия сходимости будут выполнятся:
Зададимся начальными условиями - x1=0,x2=1, и погрешностью – 0.001. Запишем все промежуточные значения в таблицу;
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
x1 |
0 |
0.078 |
0.155 |
0.166 |
0.175 |
0.176 |
0.177 |
x2 |
1 |
-0.8 |
-0.761 |
-0.723 |
-0.717 |
-0.713 |
-0.712 |
Ответ x1=0.177, x2=-0.712