3.Классификация элементарных функций.

Для чего нужно классифицировать элементарные функции?

Ответ очень прост: каждому классу функций соответствует определенный набор свойств. Некоторые функции бесконечное число раз дифференцируемы на каком-либо промежутке, некоторые непрерывны, другие ортогональны с весом и т.д. и т.п.

Согласитесь, когда все книги разложены по-полочкам по определенным тематикам, достаточно просто найти нужную...

Элементарные функции.

Функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций посредством арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и образования сложных функций, называются элементарными функциями.

Примером может являться функция  .

Очень удобно классификацию элементарных функций представить в виде таблицы.

Элементарные функции

• Трансцендентные

• Алгебраические

  • Иррациональные

  • Рациональные

    • Целые рациональные

    • Дробные рациональные

Итак, по приведенной классификации элементарные функции подразделяются наалгебраические и трансцендентные.

Алгебраические функции.

Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.

Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.

Например, функция   является алгебраической.

Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.

Рациональные функции.

Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).

Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) идробные рациональные (отношение многочленов).

Пример целой рациональной функции:  .

Пример дробно-рациональной функции:  .

ПРИМЕЧАНИЕ:

Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например,   - целая рациональная функция, а не иррациональная.

Иррациональные функции.

Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).

Примером может являться функция  .

Трансцендентные функции.

Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).

К примеру,   - трансцендентная функция.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!

Если вид элементарной функции можно упростить на всей области определения, то классификации подлежит именно упрощенная функция.

К примеру,   - не иррациональная функция, а рациональная, так как  .

 - не трансцендентная функция, а рациональная алгебраическая, так как .

4.Степенная функция, ее свойства и график

Вы знакомы с функциями y=x, y=x², y=x³, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=x^p, где p - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x^p. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени p.

1. Показатель p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x²ⁿ, где n - натуральное число, обладает следующими

свойствами:

• область определения - все действительные числа, т. е. множество R;

• множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;

• функция y=x²ⁿ  четная, так как x²ⁿ=(-x)²ⁿ

• функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежуткеx>0.

График функции y=x²ⁿ имеет такой же вид, как например график функции y=x⁴.

        2. Показатель p=2n-1- нечетное натуральное число В этом случае степенная функция  y=x^2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R;

• множество значений - множество R;

• функция y=x^2n-1 нечетная, так как (-x)^2n-1=x^2n-1;

• функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x^2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x³.

       3.Показатель p=-2n, где n - натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x^-2n=1/x²ⁿ обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x=0;

• множество значений - положительные числа y>0;

• функция  y=1/x²ⁿ четная, так как 1/(-x)²ⁿ=1/x²ⁿ;

• функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x²ⁿ имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x².

       4.Показатель p=-(2n-1), где n - натуральное число. В этом случае степенная функция y=x^-(2n-1) обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x=0;

• множество значений - множество R, кроме y=0;

• функция y=x^-(2n-1) нечетная, так как (-x)^-(2n-1) =-x^-(2n-1);

• функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.

График функции y=x^-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x³.