1 Операции над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям над действительными числами

Подготовка школьного учителя математики безусловно предполагает, что он обретет навыки сознательного владения математическими понятиями, которые должен будет использовать по долгу службы. Однако не все так очевидно и категорично, ведь некоторые фундаментальные математические понятия (например, понятие действительного числа) слишком сложны. Что бы аккуратные их определения нашли себе место в школьном курсе математики. Тем не менее, положение в нем такого важного математического понятия, как функциональное уравнение, весьма уникально и даже парадоксально: использование функциональных уравнений в школьном курсе математики имеет место, а вот самого термина (имени) «Функциональное уравнение» - нет. Вот и получается,

что безымянное понятие (некий математический аноним!) присутствует на страницах школьных учебников по алгебре и началу анализа, как какой-нибудь герой невидимка, законспирированный до такой степени, что даже сам как использования этого понятия, обычно ускользает от всевидящего учительского ока. Но думается, что подобная не наблюдательность это – вина не столько учителя, сколько результат некоторых пробелов в его подготовке. Исправлению сложившегося положения, безусловно, послужили бы чтения студентам-«математикам» специального курса по функциональным уравнениям и методам их решения, проведения соответствующих практикумов по решению математических задач и, наконец, организация занятий соответствующей математике на курсах повышения квалификации учителей.

Ещё: даже несколько фраз, посвященных функциональных уравнениям и сказанных на лекциях по методике преподавания математики, так же способствовали бы исправлению сложившейся ситуации. Тем более, что функциональные уравнения хороший материал для изучения и иллюстрации некоторых свойств основных операций над числовыми функциями. Но пока функциональные уравнения забыты, увы, до такой степени, что уже делаются попытки даже сам термин «функциональные уравнения» использовать в качестве имени для «обычного» уравнения вида f(x)=φ(x), где f(x) и φ(x)- обозначения для некоторых функций.

Что бы подтвердить сказанное, прежде всего, напомним, что в школьном курсе математики после рассмотрения понятий функции и определения равных функций начинают заниматься основными («арифметическими») операциями над функциями, в частности изучают свойства этих операций.

Примечательно, что этот процесс изучения «оперативных» свойств функций в рамках школьного курса математики включает в себя две линии , две тенденции:

1. Главенствующую тенденции – рассмотрения и использование тех свойств основных операций над функциями, которые аналогичны соответствующим операциям – «тезкам» над действительными числами;

2. Как бы второстепенную, теневую тенденцию – исследования тех свойств основных операций над функциями, которые существенно отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами.

Первая линия представлена в школьных учебниках по алгебре и началом анализа, разбором таких свойств, как ассоциативность и коммутативность сложения и умножения функций, дистрибутивность умножение относительно сложения, а так же ещё такими примечательными свойствами, как

+{(x;0)| }=f;

и

Эти последние три свойства показывают, что функции

+{(x;0)| и

очень похожи своими свойствами на действительные числа нуль и

единицу, правда, таких «нулей» и «единиц» столько же, сколько непустых подмножеств у множества действительных чисел R. И тем не менее, не

мудрствуя лукаво, эти функции обозначили в элементарной математике соответственно символы 0 и 1, хотя точнее было бы обозначить и ведь их бесконечно много, причем каждая «обслуживает» «свой» набор функций с общей областью определения

D ⊂R.

Аналогичным образом поступили и с операциями сложения, умножения, вычитания и деления функции: для обозначения результатов их применения, т.е. частного функции, взяли «напрокат» знаки их арифметических тезок. То, что это чревато определенными неприятными последствиями, подтверждают определенные трудности, возникающие при попытке однозначно «расшифровать» такие записи, как 0+0=0, 1×0=0, 1×1=1.

Подобное неоднозначность в понимании смысла обозначения уже в полнее может подвигнуть к проявлению особой осторожности и большего внимания при решении задач на поиск функции с заданными свойствами. Такая бдительность вдвойне оправдана и наличием второй линии изучения «оперативных» свойств функции. Увы, но как раз изучение принципиальных различий в свойствах арифметических операций над действительными числами и одноименных операций над числовыми функция в школьном курсе математики уделяют ничтожно мало времени. И в этом случае могли бы помочь функциональные уравнения, пусть даже без упоминания самого этого термина. Что бы подтвердить это, приведем несколько простых задач, поиски решения которых, помогли бы и ученику и учителю более основательно изучить свойства операций над функциями, возможно даже сделать для себя маленькие, но полезные открытия.

Задача 1.1

Укажите все функции f(x) и D(x)=R и E(f)⊂R, удовлетворяющие

следующему условию:

а) =

б) =

в) =

г) = ;

д)

Задача 1.2

Укажите все функции f(x), удовлетворяющих следующему условию:

Где r – произвольное фиксированное положительное число, с и .

Естественно, что решение задач 1.1 и 1.2 можно искать среди функций обладающих некоторыми дополнительными свойствами (см. задачу 1.3)

Задача1. 3

Укажите все функции-решения задачи 1.1, а затем задачи 1.2, обладающие следующими дополнительными свойствами:

а) непрерывностью в каждой точке своей области определения;

б) дифференцируемостью в каждой точке своей области определения;

в) четностью, или нечетностью, или периодичностью.

Первые же попытки решить задачи 1.1 (а) и 1.1 (б) помогают обнаружить существенное отличие свойств операции умножения функций от свойств соответствующего арифметического тезки.

Действительно, если из функционального равенства немедленно следует, что (что аналогично выводу из арифметического равенства ), то сделать вывод из функционального неравенства вывод, аналогичный соответствующему «арифметическо -му» выводу (если для двух действительных чисел справедливо равенство , то , совершенно не правомочно. Без труда можно привести пример двух функций, не являющихся тождественными нулю, т.е. отличных от нуль- функции, чье произведение равно нуль- функции.

Например, таковыми являются функции и с областью определения R. Вот и получается, что решений у алгебраического уравнения ровно два: 0 и 1, а у задачи 1.1 (а)- бесконечно много. Приведем пример рассуждений, позволяющих описать все решения задач 1.1 и 1.2.

Решение задачи 1.1 (а).

Пусть - произвольное действительное число, тогда число - значение искомой функции в точке - должно в соответствии с условием задачи удовлетворять равенству:

или ,

а значит, или , т.е. графику искомой функции (если таковая существует!) принадлежит точка , либо точка . Однако было бы грубой ошибкой вывести сюда, что при «конструировании» искомой функции надо назначить для всех значений аргумента одно и тоже значение функции – число нуль, или одно и тоже значение – единицу. Можно ведь и «чередовать» эти возможности при построении того или иного конкретного решения данной задачи. В частности, её условию удовлетворяет и знаменитая функция Дирихле

Очевидно также, что всякая функция с и , удовлетворяющая условию или для любого – это решение задачи пусть и «неконструктивно», но с достаточно удовлетворяющим ответом.

Ответ: условию задачи 1.1 (а) удовлетворяет всякая определённая на R функция, чей график принадлежит объединению двух прямых декартовой координатной плоскости с уравнениями и , и других решений нет.

Аналогично и для задачи 1.1 (б): все её решения - определенные на R функции, чьи графики лежат на «кресте», - принадлежат объединению двух прямых декартовой координатной плоскости, заданной уравнениями и .

Так же легко решить до конца задачу 1.1 и задачу 1.2. Но вот любопытно; и в студенческой, и в учительской аудитории бывает весьма не просто убедить слушателей, что у задачи 1.2 бесконечно много решений и наряду с такими решениями, как функции

и - , ,

будут, например, такие:

и

Обратимся теперь к задачам 1.3 (а) и 1.3 (б). Для их решения удобно использовать интуитивное представление о графике функции, заданной и непрерывной на некотором промежутке, как о некоторой «непрерывной» линии, которую можно вычертить, не отрывая карандаш от бумаги.

Покажем, как можно получить решение задачи 1.3 (а), когда дополнительные требования непрерывности накладываются на условие задачи 1.1 (б). Ради краткости примем для обозначения этой задачи символ 3 (а) 1 (б).

Решение задачи 1.3 (а) 1.1 (б). Прежде всего, любая, и в частности непрерывная, функция – решение этой задачи обязана в точке = -3 принимать значение – 3, или 3, так как других точке с абсциссой -3, кроме (-3;-3) и (-3;3), на объединении графиков функции и просто нет.

Рассмотрим первый случай, когда график искомой функции (если таковая существует!) проходит через точку (-3;3). Заставляя аргумент монотонно возрастать от -3 до , вначале доберемся до его нулевого значения – абсциссы общей точки (0;0) графиков функции и . При этом переменная точка , вычерчивая соответствующую часть (от точки (-3;3) до точки (0;0)) графика искомой непрерывной функции-решения, не сможет (именно потому, что нас интересует непрерывное решение) покинуть график функции и «перескочить» на график функции , т.е. эта переменная точка будет непрерывно скользить по прямой . Однако, добравшись до точки (0;0), мы окажемся как бы в роли витязя на перепутье: либо далее двинемся по той же линии – графику функции , что даст нам первое решение задачи – функцию (заметим, что для значений аргумента, меньших -3, подобных «развилок» нет!), либо повернем на линию , что даст нам ещё одно решение задачи:

=

Во втором случае, когда будем искать непрерывное решение, график которого проходит через точку (-3;3), аналогичный анализ дает ещё два непрерывных на R решения – функции и . И других решений указанного класса нет.

И наконец, о причинах выбора точки : конечно же, вместо нее можно было бы взять любое отрицательное число и даже любое ненулевое (лишь бы не нуль - абсциссу общей точки графиков функций ).

Ответ : условию задачи 1.3 (а) 1.1 (б) удовлетворяют ровно четыре функции, это

Решение задачи 1.3 (б) 1.1 (б). Помня о соотношении между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке, мы должны будем осуществить выбор дифференцируемых на R функций из четырех решений задачи 1.3 (а) 1.1 (б). Таковыми окажутся .

Ответ: искомые функции .

Для задач 1.3 (а) 1.1 (а) и 1.3 (б) 1.1 (а) аналогичные рассуждения позволяют указать ровно два непрерывных и одновременно дифференцируемых решения – функции и , т.е. .

2 Свойства основных операций над функциями, которые отличаются от свойств одноименных операций над действительными числами

Продемонстрировав некоторые возможности применения функциональных уравнений в элементарной математике, перейдем теперь к рассказу об их реальном, хотя и малозаметном присутствии (и уже не один десяток лет!) в школьном курсе математики. Но прежде чем как узнать разделы и понятия школьного курса, под сенью которых скрываются функциональные уравнения, напомним, как в математике определяют это понятие: функциональное уравнение – это уравнение, в котором неизвестным является функция, связанная при помощи образования сложной функции с известными функциями.

А вот теперь, помня, что бесконечная числовая последовательность – это произвольная вещественнозначная функция с областью определения – множеством натуральных чисел, внимательно присмотримся к определениям бесконечной арифметической и бесконечной геометрической прогрессий.

Бесконечная арифметическая прогрессия определяется как последовательность , удовлетворяющая условию

,

где d – фиксированное действительное число, а n –любое натуральное.

Иначе говоря, бесконечная арифметическая прогрессия в школьном курсе математики определяется как решение следующего функционального уравнения:

. (2.1)

Аналогичная ситуация и с бесконечной геометрической прогрессией. Она определяется в школьном курсе математики как функциональное уравнение вида:

где q – произвольное фиксированное ненулевое действительное число.

Далее, чтобы найти в явном виде выражение для как аналитически заданную функцию от n , обычно решают эти функциональные уравнения по традиционной схеме, реализацию которой продемонстрируем на примере уравнения (1).

1. В начале производят накопление «экспериментальных» данных – находят выражение для f(1), f(2), f(3) и т.д.

2. Затем строят на основе этого «эксперимента» гипотезу, что

f(x)=

где = f(1) – произвольное, но фиксированное число. И, наконец, последний этап.

3. Проверяют справедливость того, что функция f(x) – удовлетворяет условию (1) при любом натуральном x.

И при этом ни слова о функциональных уравнениях!

Далее обычно следует поиск формулы для суммы первых n членов этих последовательностей S(n) (как говорят в математике «в конечном виде»). Для этого в школьных учебниках применяют специальные искусственные методы, а по сути, опять-таки осуществляют поиск решения функционального уравнения так называемого разностного типа

F(x+1) - F(x) = φ(x) (2.2)

где φ(x) - известная функция, D(φ) = N , которому очевидно удовлетворяет функция S(n), если φ(x)-(x+1) –й член суммируемой последовательности.

Стоит напомнить, что уже давно найдены приемы вычисления сумм вида φ(1)+φ(2)+…+φ(n), где φ(x) – известная функция, x , т.е. способы решения так называемой основной теории исчисления конечных разностей, в частности давно и без труда получена общая формула, аналогична формуле Ньютона – Лейбница:

φ(1)+φ(2)+…+φ(n)=

где символом - обозначено любое решение уравнения (2).

Действительно, если любое конкретное решение уравнения (2),

D(f) = N, то φ(k) = (к+1) а значит

φ(1)+φ(2)+…+φ(n)=

=

Например, так как , то

1+2+3+…+n =

Вспомним теперь школьную задачу на исследование заданной функции на четность и нечетность. Легко обнаружить, что ее решение есть ни что иное, как проверка, является ли исследуемая функция решением функционального уравнения вида:

F(x)= F(-x) (уравнения четности)

и функционального уравнения вида:

F(x)= - F(-x) (уравнения нечетности),

причем исследуемая функция может удовлетворять обоим уравнениям одновременно. При этом очевидно, что любое решение системы

Есть нуль-функция , где D – произвольное непустое подмножество число вой оси , симметричное относительно точки 0.

С задачей на исследование заданной функции на периодичность ситуация несколько сложнее, ведь требуется выяснить, существует или нет функциональное уравнение в классе так называемых уравнений периодичности:

F(x+T) = f(x),

где Т – любая ненулевая константа, чьим решением является исследуемая функция. Эта задача, безусловно, сложнее двух предыдущих, ведь даже для наперед заданного числового множества M , придумать уравнение или неравенство (используя средства школьной математики), чьим множеством решений будет именно эта совокупность М, весьма не просто. Так, например, сообразишь далеко не в считанные мгновения, что для M=N искомым уравнением будет

или

Завершая рассказ о «невидимках» школьного курса математики по имени функциональные уравнения, хочется напомнить, что знаменитая последовательность Фибоначчи - это решение функционального уравнения вида:

;

что теорема о существовании и единственности представления всякой функции с симметричной относительно точки 0 областью определения в виде суммы некоторой четной и некоторой нечетной функций – это результат системы исследования двух функциональных уравнений относительно двух неизвестных функций; и наконец, что простейшие элементарные функции можно определить как решения специальных «характеристических» функциональных уравнений.

Кроме того, функциональные уравнения и методы их решения (метод подстановки, метод Коши, метод «сведения на себя» и т.д.) – прекрасная тема для цикла занятий школьного математического кружка или факультатива, тем более что задачи на исследование функциональных уравнений – обычные гости математических олимпиад школьников, причем олимпиад самого высокого уровня.