Задача 1, вариант 1-10
Условие:
Результаты измерения микротвердости (НМ) покрытий на двух разных образцах представлены в таблице.
№ измер. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
НМ, образец № 1,усл. ед. |
44 |
48 |
46 |
38 |
41 |
40 |
41 |
44 |
46 |
44 |
37 |
34 |
НМ, образец № 2,усл. ед. |
43 |
35 |
38 |
36 |
44 |
40 |
44 |
42 |
43 |
44 |
45 |
32 |
Определить математическое ожидание, стандартное отклонение по каждой серии измерений. Проверить гипотезу равенства средних.
Решение:
Объем выборки для образцов m1=m2=12.
Рассмотрим первый образец
Определим математическое ожидание:
.
Определим величину эмпирической дисперсии:
.
Рассмотрим второй образец
Определим математическое ожидание:
.
Определим величину эмпирической дисперсии:
.
Проверим гипотезу равенства средних.
Подсчитываем отношения
;
;
Задаем желательную вероятность вывода Р=0,95.
Находим t(Р;к) при степенях свободы к=m1+m2-2=22
t(0,95;22)=2,081.
Поскольку tн<t(Р,к), то расхождение случайное (незначимое).
Гмурман в.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, м., 2003, 480 с.
Задача 2, вариант 2-19
Условие:
Построить регрессионное уравнение используя метод наименьших квадратов по следующим экспериментальным данным
К |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
Z |
2,1 |
2,2 |
2,7 |
2,8 |
2,85 |
Решение:
Обозначим выбранную функциональную зависимость в виде:
,
где
– параметры регрессионной модели,
подлежащие определению.
Если
нет теоретических соображений о виде
регрессионной модели, то ее представляют
в виде полинома:
,
в нашем случае:
.Поиск
параметров регрессионной модели состоит
в нахождении минимума следующей функции:
– для случая если все
измерены с одинаковой точностью.
;
Минимум функции S означает равенство нулю всех частных первых производных данной функции:
;
.
Решаем систему уравнений:
Искомое
регрессионное уравнение:
.
Задача 3, вариант 3-5
Условие:
Дана матрица планирования эксперимента:
Номер опыта |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х2Х3 |
У |
1 |
- |
- |
- |
|
46,8 |
2 |
+ |
- |
- |
|
20,5 |
3 |
- |
+ |
- |
|
16,8 |
4 |
+ |
+ |
- |
|
5,1 |
5 |
- |
- |
+ |
|
24,2 |
6 |
+ |
- |
+ |
|
8,9 |
7 |
- |
+ |
+ |
|
16,7 |
8 |
+ |
+ |
+ |
|
46,5 |
Задание:
Заполнить строку Хi Хj.
Построить уравнение регрессии, соответствующее плану эксперимента.
Найти коэффициенты регрессии и оценить их значение.
Проверить адекватность полученной математической модели.
Решение:
-
Номер опыта
Х1
Х2
Х3
Х2Х3
У
1
-1
-1
-1
1
46,8
2
1
-1
-1
1
20,5
3
-1
1
-1
-1
16,8
4
1
1
-1
-1
5,1
5
-1
-1
1
-1
24,2
6
1
-1
1
-1
8,9
7
-1
1
1
1
16,7
8
1
1
1
1
46,5
Дополним таблицу планирования эксперимента:
Номер опыта |
Х0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х1Х2 |
Х1Х3 |
Х2Х3 |
Х1Х2Х3 |
Y |
1 |
+ |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
46,8 |
2 |
+ |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
20,5 |
3 |
+ |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
16,8 |
4 |
+ |
1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
5,1 |
5 |
+ |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
24,2 |
6 |
+ |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
8,9 |
7 |
+ |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
16,7 |
8 |
+ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
46,5 |
Уравнение регрессии, соответствующее плану эксперимента:
.
Коэффициенты регрессии найдем по формулам:
;
;
;
;
;
;
;
;
Линейная модель имеет вид:
Оценка значимости кодированных коэффициентов регрессии с использованием t – критерия Стьюдента и проверка адекватности кодированного уравнения регрессии с использованием F – критерия Фишера возможны при проведении параллельных опытов, например, в центре плана.
В нашем случае каждая серия содержит только один опыт, поэтому дисперсия неизвестна. Число значимых коэффициентов уравнения регрессии равно числу опытов, т.е. степень свободы дисперсии адекватности равна нулю.
Соответственно провести оценку значимости коэффициентов регрессии и проверку адекватности уравнения регрессии мы не можем.