1.3. Спектральное представление сигналов

В радиотехнике в качестве базиса ортогональных функций чаще всего используются экспоненциальные или гармонические функции, что связано с простотой их генерации, а также с тем, что гармонические сигналы сохраняют свою форму при преобразованиях в линейных цепях.

Спектральное разложение сигнала – это представление сигнала в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами.

Частотный спектр – это набор отдельных гармонических составляющих сигнала.

1.3.1. Ряд Фурье в тригонометрической форме записи для произвольного периодического сигнала имеет вид:

(17)

С коэффициентами:

,	(18)
,	(19)
.	(20)

В общем случае периодический сигнал содержит постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний – гармоник, с частотами _n = n₀, n = 0, 1,.. кратными основной частоте ₀=2π/T исследуемой последовательности с известным периодом T. Четный сигнал имеет только косинусоидальные составляющие, а нечетный сигнал – синусоидальные.

Каждую гармонику можно описать её амплитудой А_n и начальной фазой _n. Тогда коэффициенты ряда Фурье:

(21)

и эквивалентная форма ряда Фурье принимает вид:

(22)

Спектральная диаграмма периодического сигнала – это графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала.

Спектральные диаграммы бывают амплитудные и фазовые (рис. 11).

Рис. 11. Амплитудная и фазовая диаграммы периодического сигнала

1.3.2. Комплексная форма ряда Фурье. Спектральное разложение периодического сигнала можно провести в системе экспоненциальных базисных функций. Функции этого базиса периодичны с периодом Т и ортонормированны на отрезке времени [-T/2,T/2]. Тогда комплексный ряд Фурье с учетом нормы комплексного сигнала:

.

(23)

При вычислениях учитывают связь экспоненциальных функций с тригонометрическими:

,	(24)
,	(25)
.	(26)

В случае экспоненциального представления спектр сигнала будет содержать гармоники и в отрицательной области на оси частот, при этом нужно учитывать, что отрицательная частота это не физическое, а математическое понятие, определяемое представлением комплексных чисел.

1.3.3. Спектральное представление непериодических сигналов

Предположим, что имеется одиночный импульсный сигнал s(t) конечной длительности. Мысленно дополним его такими же сигналами, периодически следующими через некоторые интервалы времени – Т. В результате получим периодическую последовательность s_пер(t) , которую можно представить в виде ряда Фурье (23).

Для перехода к одиночному импульсу увеличим до бесконечности период повторения импульсов – Т. При этом:

1). Частоты n₀ и (n+1)₀ окажутся сколь угодно близкими и поэтому дискретную переменную n₀ можно заменить непрерывной –  – текущей частотой.

2). Амплитудные коэффициенты c_n станут бесконечно малыми (стремящимися к нулю) из-за наличия Т в знаменателе в формулах ряда.

3). Рассмотрим интервал частот 0 в окрестностях некоторой частоты ₀. В пределах этого интервала будет содержаться N отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых будут отличаться друг от друга сколь угодно мало (N=/₀=T/2).

4). В результате отмеченных преобразований спектральные составляющие можно суммировать так, как будто они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами. Комплексная амплитуда эквивалентного гармонического сигнала внутри интервала :

.

(27)

При этом величина:

(28)

называется спектральной плотностью сигнала s(t) или прямым преобразованием Фурье данного сигнала.

С точки зрения физического смысла спектральная плотность S(₀)=S(2f₀) – масштабный множитель, связывающий малую длину интервала частот f и отвечающую ему комплексную амплитуду A гармонического сигнала на центральной частоте f₀.

При решении обратной задачи, то есть нахождения сигнала по его спектральной плотности, необходимо воспользоваться обратным преобразованием Фурье для сигнала s(t):

.

(29)

Условие существования спектральной плотности сигнала: для того, чтобы сигналу s(t) можно было бы сопоставить его спектральную плотность S(), необходимо, чтобы сигнал был абсолютно интегрируем, то есть, чтобы существовал интеграл:

.

(30)

Кратко рассмотренные основные положения теории спектрального анализа сигналов позволяют анализировать как сами сигналы, так и прохождение сигналов через радиотехнические цепи, устройства и системы.

1.4. Модулированные сигналы

Сигналы, поступающие из источника сообщений (микрофона, передающей телевизионной камеры и т. д.), как правило, не могут быть переданы по радиоканалу на большие расстояния. Данное обстоятельство связано с тем, что эти сигналы являются низкочастотными и маломощными.

При передаче по радиоканалу необходимо спектры этих сигналов перенести из низкочастотной области в область более высоких частот (радиочастот). Данная процедура в радиотехнике носит название модуляции.

Остановимся более подробно на понятии несущего колебания. Несущее или высокочастотное колебание генерируется в передающем устройстве. В радиотехнике широкое распространение получили системы модуляции, в которых в качестве несущего используется простое гармоническое колебание s(t)=U_msin(₀t+₀). В результате изменения во времени одного из параметров несущего колебания (амплитуды, частоты, фазы) по закону передаваемого сообщения, несущее колебание приобретает новое свойство – способность нести в себе информацию, которая первоначально была заложена в исходном сообщении.

В результате модуляция – процесс изменения одного из параметров (амплитуды, частоты или фазы) высокочастотного (несущего) колебания по закону управляющего низкочастотного колебания.

1.4.1. Амплитудная модуляция (АМ). Процесс изменения во времени амплитуды несущего колебания по закону управляющего при неизменных частоте и фазе называется амплитудной модуляцией несущего колебания.

Аналитическое представление АМ сигнала:

,

(31)

или АМ – это произведение огибающей s(t) и гармонического заполнения cos(₀t+₀), причем на практике огибающая изменяется во времени гораздо медленнее, чем высокочастотное заполнение.

Осциллограмма АМ – сигнала симметрична относительно горизонтальной оси, а связь межу несущей и огибающей в АМ – сигнале определяется как:

,

(32)

где s(t) – амплитуда несущего колебания без модуляции, m – коэффициент модуляции, s_упр(t) – управляющее колебание.

Величина m определяет глубину амплитудной модуляции. При малой глубине относительное изменение величины огибающей невелико: ms_упр(t)<<1. Применение АМ – сигналов с малой глубиной модуляции нецелесообразно по причине неполного использования мощности передатчика.

При увеличении глубины модуляции до ms_упр(t)>1 возникает перемодуляция, то есть искажается форма модулирующего сигнала.

Однотональная амплитудная модуляция – это частный случай АМ, когда управляющим является также гармоническое колебание с частотой <. Пример осциллограмм однотонального АМ – колебания при ms_упр(t)=1 приведен на Рис. 12, а ms_упр(t)>1 на Рис. 13.

Рис. 12. Осциллограмма однотонального АМ колебания при msупр(t)=1

Рис. 13. Осциллограмма однотонального АМ колебания при ms_упр(t)=1.4

1.4.2. Угловая модуляция, когда по закону управляющего колебания изменяется частота или фаза несущего, а амплитуда остается неизменной.

Для гармонического колебания s(t)=U_msin(₀t + ₀) = U_msinФ(t) набег полной фазы за конечный промежуток времени от t=t₁ до t=t₂ равен Ф(t₂) - Ф(t₁) = (₀t₂ + ₀) - (₀t₁+₀) = ₀(t₂ - t₁). При постоянной угловой частоте набег фазы за какой-либо промежуток времени пропорционален длительности этого промежутка.

Угловую частоту можно определить как ₀ = (Ф(t₂)-Ф(t₁))/(t₂-t₁), то есть угловая частота – это скорость изменения фазы колебания.

Переходя к сложному колебанию, частота которого может изменяться во времени необходимо перейти к интегральным и дифференциальным выражениям, связывающим полную фазу Ф(t) и мгновенную частоту (t):

,	(33)
.	(34)

Из (33), (34) следует, что полная фаза высокочастотного колебания в момент времени t равна:

.

(35)

Тогда общее выражение для высокочастотного колебания, амплитуда которого постоянна, а аргумент Ф(t) модулирован будет иметь вид:

(36)

Соотношения (34), (35), устанавливающие связь между изменениями частоты и фазы, указывают на общность двух разновидностей угловой модуляции.

Рассмотрим пример простейшей гармонической ЧМ, когда мгновенная частота определяется как:

(37)

где _Д = 2f_Д – амплитуда частотного отклонения или девиация частоты (или просто девиация); ₀ – несущая,  – модулирующая частоты.

Подставим (37) в (35):

.

(38)

Проинтегрировав, подставим в (36):

.

(39)

Полученное модулированное колебание можно рассматривать одновременно и как модулированное по фазе, а закон такой модуляции является интегральным по отношению к закону изменения частоты.

Таким образом, модуляция частоты несущего колебания по закону _Д cost приводит к модуляции фазы по закону (_Д/)sint. Амплитуда изменения фазы называется индексом угловой модуляции:

.

(40)

Пример осциллограммы с гармонической ЧМ приведен на рис. 14.

Рис. 14. Осциллограмма сигнала с гармонической ЧМ