Методические указания

Наиболее полное описание случайных процессов с помощью вероятностных характеристик возможно лишь при известных многомерных функциях распределения вероятностей, но при этом необходимо преодолевать математические трудности при различных вычислениях. Характер спектра у заданной модели случайного процесса может быть любой, а характер отклонений или разброса значений должен быть только нормальный (Гауссов). Такой случайный процесс можно рассматривать как совокупность нормальных отклонений, а плотность распределения имеет вид [3]:

,

где d_ij – алгебраическое дополнение, а D – определитель, составленный из коэффициентов корреляции R случайного процесса, полученных между различными временными отсчётами:

.

Вся информация о характере изменения такого процесса заложена в функции корреляции, найдя которую можно получить описание случайного процесса с любой детальностью, так как многомерная плотность распределения зависит от функции корреляции. Все это послужило толчком к развитию корреляционной теории, где все преобразования случайных процессов исследуются с помощью формулы:

.

В этой функции заложена вся информация о закономерностях протекания случайного между двух отсчётов x₁ x₂, разделенных временным интервалом , а если так, то известны закономерности протекания по любому количеству точек и свойства такого случайного процесса полностью известны.

Поэтому случайные процессы, встречающиеся в различных радиотехнических устройствах и используемые при оценке помехоустойчивости этих устройств разделяют по виду их спектрально – корреляционных характеристик, связанных между собой парой преобразований Винера – Хинчина:

.

Степень взаимосвязи или взаимозависимости двух различных процессов x(t) и y(t), можно получить, исследовав их функцию взаимокорреляции, которая в общем виде представляет собой математическое ожидание произведения

где w(x,y,)  совместное распределение исследуемых процессов, разделённых временным интервалом ; m()  знак математического ожидания. По виду K_xy() судят на сколько взаимосвязаны исследуемые процессы и какова их взаимная скорость изменения во временной области. Для эргодических процессов, допускающих нахождение вероятностных характеристик и оценку степени взаимосвязи путём усреднения во времени, найдём:

где Т  время усреднения и, если Т конечная величина, что практически выполняется постоянно, то реально исследователь получает в результате такого вычисления не истинное значение степени взаимосвязи, а лишь оценку или приближение к истинному значению, которое тем точнее, чем больше время усреднения.

Из теории вероятности известно, что если исследуемые процессы независимы, то выполняется условие, когда совместная плотность распределения может быть выражена через произведение одномерных плотностей распределения, или w(xy,)=w(x)w(y). Однако здесь следует различать возможные практические ситуации. Так, если математические ожидания исследуемых процессов равны нулю (m(x)=m(y)=0), то такие процессы называются ортогональными или некоррелированными, так как K_xy()=0. В другом случае, при m(x)0 и m(y)0, функция взаимной корреляции так же не равна нулю K_xy()0, а равна некоторой постоянной величине, определяемой результатом произведения математических ожиданий исследуемых процессов.

Понятие взаимной корреляции может быть применено и для детерминированных процессов, к которым может быть использована процедура усреднения по времени. Так если известны два детерминированных сигнала s₁(t) и s₂(t) , то функция взаимосвязи может быть получена как

и эта функция показывает, как похоже, протекают исследуемые процессы и если они близки (протекают похоже), то нет возможности их разделить (различить). С другой стороны, если процессы протекают не похоже (различно), то имеется потенциальная возможность разделить (различить) эти сигналы. Следовательно, функция взаимокорреляции даёт представление о возможности разделимости этих сигналов или о их различимости.

Более того, чем меньше время корреляции, тем выше степень различимости исследуемых сигналов. Теоретически самое малое время корреляции у дельта-функции, поэтому такой вид функции взаимосвязи, можно считать предельным (идеализированным), позволяющий решать задачи разделения сигналов действующих в одном канале радиосистемы.

Известны сигналы, перекрывающиеся по времени и по спектру и в этих областях такие сигналы практически не различимы, но их можно различить по функции взаимокорреляции, следовательно, взаимокорреляционный анализ является универсальным критерием разделимости перекрывающихся сигналов.

Исследуем взаимокорреляционную функцию двух конечных отрезков сигналов на временном интервале Т, тогда

Следует заметить, что имеется общая тенденция  при неограниченно возрастающем Т, (Т), функция взаимокорреляции стремится к нулю (K_xy()0). В реальной же ситуации время Т  конечная величина, что позволяет для получения основных выводов перейти от интегральной суммы к дискретной и вместо бесконечно малого dt использовать время корреляции процессов  _к. В результате получим оценку взаимокорреляционной функции

где _к=_кх=_ку, то есть время взаимной корреляции совпадает со временем корреляции исследуемых процессов. Следует отметить, что оценка функции взаимной корреляции сама является случайной величиной со своими вероятностными характеристиками. Примем для упрощения дальнейших исследований то, что математические ожидания исследуемых процессов равны нулю, то есть m(x)=m(y)=0.

Тогда дисперсия оценки функции взаимной корреляции, которая выражается суммой независимых результатов произведений отсчётов исследуемых процессов взятых через время _к, будет равна (на основании правила функциональных преобразований числовых характеристик) сумме произведений дисперсий, или

Следует отметить, что такой результат получается на основании того, что, во-первых, квадраты получены на основании правил вынесения постоянных чисел за знак дисперсии, а во-вторых, нужно обратить внимание на то, что под знаком суммы находятся произведения уже не случайных величин. И это важно, так как позволяет свернуть сумму и привести её к виду:

.

Разделив, левые и правые части равенства на D(x)D(y), иначе  осуществив нормировку и учитывая, что Т=N_к, в результате получим более простой результат:

где  оценка нормированной взаимокорреляционной функции.

Последний результат позволяет утверждать, что на рассматриваемом интервале времени исследуемые случайные процессы могут быть, коррелированны, иначе  взаимосвязаны или протекать во времени похоже и одинаково. Дополнительно введём для оценки характера разброса функции взаимокорреляции среднеквадратическое значение:

где Т/_к  отношение, представляющее количество независимых отсчётов случайных функций за время усреднения или иначе  количество независимых наблюдений. Полученный результат позволяет сделать вывод, что дисперсия оценки функции взаимокоррелляции тем меньше (и, следовательно, оценка точнее), чем больше количество независимых наблюдений.

В результате проведённого исследования, можно утверждать, что два случайных процесса независимых по своей сущности или характеру протекания во времени, при конечных реализациях и усреднении на конечных временных интервалах, обладают случайной взаимокорреляцией, но она тем меньше, чем больше время взаимокорреляции по сравнению с интервалом корреляции исследуемого процесса.

Эта идея лежит в основе функционирования разнообразных систем с шумоподобными сигналами.

В заключение рассмотрим оценку взаимокорреляционной функции в практически важной ситуации  случайного процесса и детерминированного сигнала на интервале конечной длительности. Эти сигналы по своей природе не зависимы, тогда степень похожести может быть оценена как

Переходя по аналогии с предыдущими результатами к дискретной сумме, получим оценку

где s_i и x_i выборки сигнала и шума, взятые через время корреляции случайного процесса _kx.

Вычисляя дисперсию оценки взаимокорреляционной функции по правилам выполнения операций с числовыми характеристиками, в результате получим:

Учитывая, что D(x) под знаком суммы является постоянной величиной и то, что =Э  энергия сигнала на интервале корреляции, а  является средней мощностью сигнала, можно, разделив левые и правые части последнего равенства на РD(x), получить дисперсию оценки нормированной функции взаимокорреляции:

или, переходя к среднеквадратическому отклонению, в результате получим:

.

Следовательно, и в этом случае дисперсия оценки взаимокорреляции отрезков случайного процесса и детерминированного сигнала зависит от количества независимых наблюдений, а «похожесть» протекания процессов во времени описывается, так же как и в случае оценки взаимокорреляционных характеристик отрезков двух случайных процессов. Этот результат говорит о том, что протекание (изменение) случайного процесса во времени может быть похоже (или развиваться подобно) как у другого случайного процесса или даже как у детерминированного сигнала, то есть по характеру развития во времени на интервале наблюдения такой сигнал может развиваться как случайный или детерминированный процессы.

Использование понятия взаимокорреляционного анализа при описании похожести протекания различных процессов даёт исследователю наиболее универсальный и гибкий метод выделения сигналов из помех.