1. Однопараметрическая постановка и решение задачи оптимизации классическим способом

В соответствующем разделе высшей математики сформулированы, выведены и доказаны необходимые и достаточные условия для отыскания экстремума различных функции, имеющих непрерывный характер. Так доказано, что необходимым условием существования экстремума дифференцируемой на интервале (a,b) функции одного переменного в точке x0, принадлежащей этому интервалу, является равенство нулю ее первой производной. При этом касательная, проведенная к графику этой функции в точке х₀ будет параллельно оси Х.

Пример 1. Пусть необходимо вычислить минимум функции

F(x)=x² F’(x0)=2x F’’(x0)=2

Вместе с тем необходимое условие не всегда является достаточным . В соответствии с высшей математикой достаточным условием существования экстремума:

1. Если функция f дважды дифференцируема и f’=0 а f’’>0 (f’’<0), то функция f в точке f0 будет иметь локальный минимум (максимум)

2. Пусть функция f k-раз дифференцируема в точке f0, пусть так же производная в степени n равна 0 при всех k от 1 до -1, а производная к-й степени не равна нулю. Тогад если k-четная то функция в точке х0 при k-й производной имеет минимум, а при k производной >0 имеет максимум. Если k- четное, то экстремума функции в этой точке нет.

Пример2. F(x)=x⁴ F’(x0)=4x³ F’’(x0)=12x² F’’’(x0)=24x

Пример 3 F(x)=x³ F’(x0)=3x² F’’(x0)=6x F’’’(x0)=6 >0 – нет минимума

Вместе с тем в высшей математике показано, что в некоторых частных случаях даже если условия дифференцируемости в данной точке не выполняются, то все равно функция может иметь экстремумы.Предположим f(x)=|x| - все равно видим, что минимум

Функции могут иметь свойство монотонности. Для поиска экстремума у таких функций относительно искомой точки проверяют поведение функции. Например для этой данной функции y=|x| на интервале изменения х от -∞ до 0 функция монотонно линейно убывает, а на интервале от 0 до +∞ монотонно возрастает. Следовательно можно утверждать, что в точке x0 будет минимум.

2. Классический метод вычисления условного экстремума

Используя классические методы в решении задач оптимизации необходимо четко выделять понятия:

1. локальный экстремум

2. глобальный экстремум

3. условный экстремум.

Для того, чтобы сторого определить эти понятия рассмотрим из, для простоты, для одной единственной функции. При этом понятие условного экстремума вводятся для функций когда число переменных n≥2.

Будем полагать, что некоторая функция, дважды дифференцируема в некоторой точке и в ее окрестности. Причем, если для всех точек этой окрестности выполняются условия или , то можно утверждать что функция имеет в точке которая в теории оптимизации принято называть стационарной точкой.

В математике доказано что существуют необходимые и достаточные условия экстремума такой функции в этой точке:

1. необходимые условия экстремума – если в точке функция имеет экстремум, то все частные производные этой функции по всем координатам Х в этой точке равны 0.

Следовательно, точки экстремума функции должны удовлетворять системе ограничений равенств:

Итак, наличие первых производных в стационарной точке , равенство из 0 и выполнение системы равенств ограничений и является необходимым условием экстремума.

Для того чтобы уяснить что представляет собой экстремум в данной стационарной точке, необходимо в данной стационарной точке определить знак дифференциала второго порядка.

Этот дифференциал будем записывать в виде и он представляет собой сумму произведений частных производных по ( на приращение соответствующих аргументов.

Таким образом, чтобы получить дифференциал второго порядка от функции и переменных необходимо вычислить все частные производные первого порядка, затем вычислить вторые частные производные и только потом получить дифференциал второго порядка второго порядка как двукратную сумму вторых производных по всем переменным умноженным на приращение соответствующих аргументов.

Исходя из этого можно сформулировать достаточные условия экстремума, которые выражаются в выполнении условий:

1. в стационарной точке функция имеет максимум или дифференциал второго порядка в данной точке меньше 0, и эта же функция имеет минимум если дифференциал второго порядка больше 0; все это при любых приращениях 𝛥 𝛥 .

Считается что в этих случаях и не обращаются в 0 одновременно.

2. Если дифференциал второго порядка в стационарной точке в зависимости от значений 𝛥 𝛥 может принимать как положительные так и отрицательные значения, то экстремумы в стационарной точке нет.

3. Если дифференциал второго порядка может обращаться в 0 не только при нулевых значениях 𝛥 𝛥 , то вопрос о наличии экстремума в данной стационарной точке остается открытым.

Покажем эти понятия на функции двух переменных.

Для функции существуют четыре частных производные второго порядка:

При этом необходимо понимать, что если две смешанные производные непрерывны, то они будут равное между собой. Дальше необходимо вычислить производные в стационарных точках и обозначить их:

Из полученных значений составляется определитель, решается

и по результатам этих вычислений формулируется достаточное условие функции двух переменных.

Если определитель >0 и <0 ( , то в точке функция имеет max.

Если же определитель >0, но , то в точке наблюдается min

Если определитель <0, то в точке экстремума нет.

Если определитель =0, то вопрос об экстремуме функции остается открытым.

Билет 6=Билет 18.