Средняя геометрическая величина.
Если в формулу 6.2 подставить значение К=0, то в результате получаем среднюю геометрическую величину, которая имеет простую (невзвешенную) и взвешенную формы.
Средняя геометрическая простая величина, рассчитываемая в ранжированном ряду, выражается следующим образом:
(6.9)
где П – знак произведения; х – варианты; n – общее число вариант в ранжированном ряду.
Для дискретного или интервального ряда средняя геометрическая рассчитывается по взвешенной форме:
(6.10)
где f – частота дискретного или интервального ряда.
Средняя геометрическая величина применяется в тех случаях, когда варианты связаны между собой знаком произведения, т.е. главным образом при расчёте относительных показателей динамики: коэффициентов (темпов) роста, прироста и др.
Например, необходимо рассчитать, во сколько раз в среднем возросло производство сахарной свеклы в сельскохозяйственном предприятии за четырёхлетие, если известно, что цепные коэффициенты роста по годам составили соответственно 1; 0,9; 1,3; 1,5; раза. При решении этой задачи рассуждаем так: цепные коэффициенты роста не автономны, как в вариационном ряду распределения, а взаимозависимы, т.е. связаны между собой знаком произведения. Следовательно, наиболее точный результат может быть получен при условии применения средней геометрической невзвешенной величины по формуле 6.9:
Таким образом, производство сахарной свеклы за приведенное четырехлетие за каждый год в среднем возрастало в 1,151 раза.
Если имеет место дискретный или интервальный ряд, то при расчёте средней целесообразно воспользоваться взвешенной формой средней геометрической величины. Допустим, необходимо рассчитать среднегодовой темп роста валового производства картофеля в районе за 20 -–летний период по данным, приведём в табл. 6.7.
Т а б л и ц а 6. 7. Динамика валового производства картофеля в районе
Темпы роста производства картофеля, % |
Число лет в каждом периоде |
|
Интервалы |
Средина интервала |
|
|
х |
f |
90-100 |
95 |
3 |
100-110 |
105 |
6 |
110-120 |
115 |
6 |
120-130 |
125 |
5 |
Σ |
- |
20 |
Как видно из данных табл. 6.7, темпы роста производства картофеля представлены в виде интервального ряда, а темпы роста, как известно, связаны между собой знаком не суммы, а произведения. Это означает что для расчёта среднего роста за весь 20 – летний период целесообразно применить взвешенную форму средней геометрической величины (формула 6.10):
Таким образом, за двадцатилетний период производство картофеля развилось со среднегодовым темпом роста 100,2 %.
6.7 Средняя гармоническая величина.
При условии подстановки в общую формулу 6.2 значение К=-1 можно получить среднюю гармоническую величину, которая имеет простую и взвешенную формы.
Название средней гармонической величины неслучайно, так эта средняя "гармонирует" со средней арифметической величиной.
Для ранжированного ряда используется средняя гармоническая простая величина, которую можно записать следующим образом.
(6.10)
где n
– общая численность вариант;
- обратное значение варианты.
Допустим, имеются данные о
том, что при перевозке картофеля скорость
движения автомобиля с грузом составляет
30 км/ч, без груза – 60 км/ч. необходимо
найти среднюю скорость движения
автомобиля. На первый взгляд представляется
совсем несложное решение задачи:
применить способ средней арифметической
простой величины, т.е.
Однако, если иметь в виду, что скорость движения равна пройденному пути, разделённому на затраченное время, то совершенно очевидно, что полученный результат (45 км/ч) оказывается неточным, так как на прохождение одного и того же автомобиля с грузом и без груза (туда и обратно) затраты времени будут существенно различаться. Следовательно, более точная средняя скорость движения автомобиля с грузом и без груза может быть рассчитана по средней гармонической простой величине:
Таким образом, средняя скорость движения автомобиля с грузом и без груза составляет не 45, а 40 км/ч.
В дискретный или интервальных рядах используются средняя гармоническая взвешенная величина:
(6.11)
где W – произведение варианты на частоту (взвешенная варианта, xf).
Рассмотрим пример. Трудоемкость производства картофеля в первом подразделении сельскохозяйственного предприятия составляет 1 чел.-ч., во втором – 3 чел.-ч. В обоих подразделения на производство картофеля затрачено по 30 тыс. чел.-ч. необходимо рассчитать среднюю арифметическую трудоёмкость картофеля в сельскохозяйственном предприятии. Само собой разумеется, что беглый взгляд на исходную информацию подсказывает простое решение: среднюю трудоёмкость легко найти как полу сумму трудоёмкости картофеля в двух подразделениях, т. е. по способу средней арифметической простой величины:
Однако, при таком решении совершается две ошибки. Первая, принципиальная ошибка заключается в том, что при расчёте средней трудоемкости по способу средней арифметической простой величины не учитывается сущность самой трудоемкости, которая находится как отношение прямых затрат труда к объему продукции. Вторая ошибка состоит в том, что при решении не учтен приведенный по условию задачи конкретный объем затрат труда на производство картофеля (по 30 тыс. чел.-ч. в обоих подразделениях). Это позволяет рассчитать частоту (веса) для трудоемкости картофеля и, таким образом, найти среднюю арифметическую взвешенную трудоемкость, что будет успешно заменено путем применения средней гармонической взвешенной величины:
Таким образом, средняя трудоёмкость картофеля в сельхозпредприятии составляет не 2, как это было рассчитано выше, а 1,5 чел.-ч/ц.
Средняя гармоническая величина применяется главным образом в тех случаях, когда варианты ряда представлены обратными значениями, а частоты (веса) скрыты в общем объеме изучаемого признака.