1.2. Алгебраические критерии устойчивости

Задача нахождения соотношений между коэффициентами ха­рактеристического уравнения линейной системы, обеспечиваю­щих ее устойчивость, давно привлекала внимание инженеров и математиков. Еще в 1860 г. И. А. Вышнеградский, исследуя систему регулирования паровой машины, сформулировал усло­вия, связывающие коэффициенты характеристического уравне­ния третьей степени, при которых система устойчива. Эта же задача привлекла внимание Дж. Максвелла и А. Стодола. К решению задачи для произвольной степени уравнения были привлечены математики Раус и Гурвиц. Ими были получены решения задачи устойчивости в несколько различных видах.

Раус опубликовал свое решение в 1875 г. в виде получившей известность таблицы Рауса. Гурвицем был опубликован крите­рий устойчивости в 1895 г. в виде системы определителей. Оба эти критерия приводят к одним и тем же алгебраическим нера­венствам и по существу отличаются только общей формой полу­чения их. Поэтому эти критерии часто объединяют, называя критерием Рауса—Гурвица.

Опуская доказательство каждого из этих критериев, приве­дем их математическую формулировку и покажем примеры их применения.

Критерий Рауса. Пусть дано характеристическое урав­нение системы:

1.8

Составим табл. 1.1 называемую таблицей Рауса.

Таблица 1.1

Правило составления таблицы легко усмотреть из ее по­строения. Любой из коэффициентов таблицы Рауса c_ki при (k обозначает номер столбца, a i — номер строки таб­лицы) можно найти по формуле:

,	1.9
, при

Число строк таблицы Рауса равно степени уравнения плюс единица,

т. е. (n+1). Коэффициентам с отрицательными индексами соответствуют нули. Критерий устойчивости Рауса формулируется следующим образом. Для того чтобы система была устойчива, не­обходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны, т. е.

; ; ; ,…,

1.10

При составлении таблицы Рауса для численно заданных коэффициентов уравнения можно в целях упрощения вычисле­ний умножать или делить строки таблицы на положительную величину. Это не меняет результат.

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, т. е. система неустойчива, то число корней уравнения, лежа­щих в правой полуплоскости, равно числу перемен знаков в первом столбце таблицы.

Пример 1.1. Пусть

Требуется определить количество корней, лежащих в правой полуплоскости.

Составим таблицу Рауса (табл. 1.2). Как видно из таблицы, в первом столбце имеют место две перемены знака: с плюса на минус и с минуса на плюс. Следовательно, рассматриваемое характеристическое уравнение имеет два корня в правой полуплоскости и соответствует неустойчивой системе.

К р и т е р и й Г у р в и ц а. Пусть дано характеристическое уравнение системы (1.8). Составим таблицу коэффициентов, называемую таблицей Гурвица.

Таблица 1.2

				0
	21-0,167·44=13,65	62-0,167·52=53,3	100-0,167·0=100	0
	44-0,44·53,3=20,6	52-0,44·100=8	0-0,44·0=0	0
	53,3-0,662·8=48,0	100-0,622·0=100	0	0
	8-0,43·100= - 35,0	0	0	0
	100-1,37·0=100	0	0	0

Правило составления таблицы видно из ее построения. Пер­вая строка образуется из коэффициентов уравнения с индексами 0, 2, 4, и т. д. Вторая строка — из коэффи­циентов уравнения с индексами 1, 3, 5, и т. д. Каждая последующая строка образуется коэффициентами уравнения с индексами на единицу больше индексов коэффициентов пред­шествующей строки; при этом коэффициенты с индексами меньше нуля и больше n заменяются нулями. Таблица содержит п строк, где п — степень уравнения.

Из таблицы Гурвица составляются определители k-го порядка Δ_k отчеркиванием в таблице k строк и k столбцов:

; ;

и т. д.

1.11

эти определители называются определителями Гурвица.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом. Система устойчива, если и все определи­ли Гурвица больше нуля, т. е.

, где .

Рассмотрим более подробно случаи, когда n = 1,…,4

1) n = 1,

,

1.12

Условия устойчивости:

; ;

2) n = 2,

,

Условия устойчивости:

; ,

1.13

Последнее условие, при наличии предшествующего, экви­валентно условию .

Таким образом, условия устойчивости для уравнения второй степени сводятся к требованиям:

, , ;

1.14

3) n = 3

,

Условия устойчивости:

;

;

,

Последнее условие, при наличии предшествующего, экви­валентно условию .

Условие при ; ; возможно лишь при .

Таким образом, условия устойчивости для уравнения третьей степени сводятся к требованиям:

, , , ,	1.15
;	1.16

4. n = 4,

,

Условия устойчивости:

; ;

;

;

Последнее условие, при наличии предшествующего, экви­валентно условию .

Условие при возможно только при и . Условие при , и возможно при .

Таким образом, условия устойчивости для уравнения чет­вертой степени сводятся к требованиям:

, , , , ,	1.17
;	1.18

Из сказанного следует, что условия устойчивости для уравнений первой и второй степени сводятся к требо­ванию положительности коэффициентов характеристи­ческого уравнения.

Для уравнений третьей и четвертой степени, помимо поло­жительности коэффициентов характеристического уравнения, необходимо соблюдение неравенств (1.16) и (1.18).

При число подобных дополнительных неравенств воз­растает, поэтому критерий устойчивости Гурийца рационально использовать при .

Из структуры построения определителей Гурвица следует, что:

,

1.19

Согласно критерию устойчивости Гурвица, система устой­чива, если все определители Гурвица больше нуля и, в част­ности, .

Система находится на границе устойчивости, когда:

,

1.20

Это равенство возможно в двух случаях: 1) и 2) .

В первом случае говорят, что система находится на границе апериодической устойчивости (один из корней характеристиче­ского уравнения равен нулю).

Во втором случае говорят, что система находится на гра­нице колебательной устойчивости (два сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси).

В большинстве случаев и, следовательно, если система находится на границе устойчивости, то это граница колебательной устойчивости.

Пример 1.2. Пусть дано характеристическое уравнение:

,

1.21

Это уравнение соответствует системе регулирования, содержащей три инерционных звена с постоянными времени и общим коэффи­циентом усиления k. Необходимо найти предельное значение k, при кото­ром система перестает быть устойчивой, т. е. k_пр как функцию Т_i, i = 1, 2, 3.

Перепишем уравнение в виде:

Согласно критерию устойчивости Гурвица, система устойчива, если выполняются неравенства (1.15) и (1.16), т.е. если все коэффициенты урав­нения положительны и выполняется неравенство:

,

1.22

Положительный знак коэффициентов вытекает из условия задачи. Неравен­ство (1.22) может быть переписано в виде:

,

1.23

где

; ;

Из полученного неравенства видно, что оно нарушается при:

,

1.24

Из (1.24) следует, что предельный коэффициент усиления k_пр системы определяется не абсолютной величиной постоянных времени звеньев, а их относительным значением и k_пр тем больше, чем больше величины т. е. чем более резко отличаются постоянные времени друг от друга. В частном случае, когда , т. е. , значение k_пр минимально и равно всего лишь 8.