11 21. Квантовые числа электрона в атоме. Спин электрона. Принцип Паули.

Рассмотр. квантово-механич. описание атомных сист. на примере водорода. Расчеты движения электрона, определение энергетического спектра атома водорода сводятся к решению стационарного ур-я Шредингера для электрона, находящегося в кулоновском поле ядра атома. Потенциальная энергия эл-на в этом случае определяется выражением: U(r)=-e²/4pe₀r (*), где e – заряд электрона, r – расстояние между электроном и ядром. Подставим (*) в стационарное ур-е Ш. DΨ+(2m/ħ²)(E-U)Ψ=0, получим: DΨ+(2m/ħ²)(E+(e²/4pe₀r))Ψ=0 (**). Поскольку поле, в кот. движется электрон, явл. центрально-симметричным, целесообразно при решении ур-я (**) воспользоваться сферической сист. координат: r,q,φ. Основные физич. рез-ты, к кот. приводит решение ур-я (**) в соответствии с требованиями, кот. налагаются на Ψ ф-цию и ее производные(см. вопр.№16): 1.) Собственные значения энергии Е эл-на в атоме водорода квантуются, т.е. принимают ряд дискретных значений, подчиняющихся ф-ле: E=-(me⁴/8h²e₀²)·(1/n²), где n=1,2,3... Каждому значению n соответствует определенная энергия Е, или энергетич. уровень. Поскольку энергия явл. важнейшей хар-кой состояния эл-на а втоме и зависит от n, то n назыв. главным квантовым числом. 2.) Согласно принципу неопределенности, утверждение о том, что эл-н движется по определенной орбите, не имеет смысла. Поэтому нельзя характеризовать состояние эл-на в атоме с помощью координат и импульса. В то же время момент импульса эл-на может быть определен и является важной хар-кой состояния эл-на в атоме. Момент импульса эл-на в атоме водорода, хар-щий движение эл-на вокруг ядра, также квантуется, т.е. подобно энергии может принимать только определенные дискретные значения. Эти значения находят по следующей ф-ле, получ. при решении ур-я Шредингера для эл-на в кулоновском поле ядра атома: L_l=ħ , где l – целое положительное число или 0, но не превышает n-1 (n – главное квантовое число); l=0,1,2…n-1. Число l назыв. азимутальным, или орбитальным квантовым числом. Всего возможно n различных значений азимутального числа l при данном главном квантовом числе n. 3.) Следующей важной хар-кой состояния эл-на в атоме явл. проекция момента импульса L_lz на некоторое направление, кот. мы примем за ось z, совпадающую, например, с направлением маг. поля, в кот. находится эл-н. Проекции на отдельные оси координат оказываются в квантовой механике при этом неопределенными. Проекция момента L_lz может принимать лишь дискретные значения: L_lz=mħ, где m принимает одно из следующих 2l+1 значений: 0,±1, ±2,..., ±l. Число m назыв. магнитным квантовым числом. Оно не может превышать по абсолютной величине l, т.к. проекция момента всегда меньше величины самого момента. 4.) Для получения полного согласия теории с опытом необходимо ввести величину, хар-щую эл-н, - собственный момент импульса, не связанный с движением вокруг ядра и присущий эл-ну всегда, независимо от того, входит он в состав атома или явл. свободным. Собственный момент импульса L_S называют спином. Спин эл-на всегда имеет одно и то же значение: L_S=ħ , где s=1/2. Проекция на ось z спина может принимать 2 значения: L_Sz=m_Sħ, где квантовое число m_s равно ½ или – ½, т.е. подобно маг. числу m принимает 2s+1 значений. Квантовые числа n,l,m,m_s определяют состояние эл-на, являются его квантово-механич. хар-камиМногоэлектронный атом: сложная сист. взаимодействующих друг с другу эл-нов, движущихся в поле ядра. При приближенном рассмотрении такой сист. вводят понятие о состоянии каждого из эл-нов в отдельности, причем это состояние хар-ется теми же квантовыми числами, что и состояние эл-на в атоме водорода. Энергия эл-на в многоэл-ном атоме зависит не только от главного квантового числа n, но и от азимутального числа l. Поэтому уровни энергии сложных атомов нумеруют не 1, а 2мя квантовыми числами. Вместо указания азимутального числа отмечают состояние буквой, делая сопоставление: l=0,1,2,3...=s,p,d,f... Уровень энергии с n=1 и l=0 обозначается 1s, с n=2 и l=0-2s и т.д. Совокупность эл-нов с данными числами n и l назыв. эл-ной оболочкой и эл-ной подоболочкой. Основным з-ном, определяющим поведение эл-нов в многоэл-ной сист., явл. принцип Паули: в сист. эл-нов в каждом квантовом состоянии не может одновременно находиться более 1го эл-на. Т.к. состояние эл-на в атоме хар-тся 4мя квантовыми числами n,l,m,m_s, то принцип П. утверждает, что в атоме не могут находиться 2 или более эл-нов с одинаковым набором квантовых чисел -> в данной оболочке атома не может одновременно находиться любое число эл-нов. В оболочке с данными квантовыми числами n и l может быть не более 2(2l+1) эл-нов. Эти эл-ны должны отличаться числами m,m_s, т.е. проекциями орбитального момента и спина. В s-сост. при определ. n могут находиться 2 эл-на с m=0,m_s=1/2 и m=0, m_s=-1/2. В p-сост. могут одновременно находиться 6 эл-нов, в d-сост. – 10 эл-нов и в f-сост. – 14. Число эл-нных состояний N с данным главным квантовым числом n получается путем вычисления суммы чисел состояний с разными l: N= . Число эл-нов в атоме, обладающих главным квантовым числом n, не может, согласно принципу П., превышать 2n². Сов-ть эл-нов с данным n образует в атоме электронную оболочку. Оболочку с n=1 называют К-оболочкой и может содержать 2 эл-на. Оболочку с n=2 назыв. L-оболочкой и может содерж. до 8 эл-нов. Оболочка c n=3 (M-оболочка) содерж. более 18 эл-нов, а с n=4 (N-оболочка) – не более 32 эл-нов.

Билет №8

Эффе́кт Зе́емана — расщепление линий атомных спектров в магнитном поле.

Обнаружен в 1896 г. Зееманом для эмиссионных линий натрия.

Эффект обусловлен тем, что в присутствии магнитного поля квантовая частица, обладающая спиновым магнитным моментом, приобретает дополнительную энергию   пропорциональную его магнитному моменту   Приобретённая энергия приводит к снятию вырождения атомных состояний по магнитному квантовому числу   и расщеплению атомных линий.

В квантовом представлении[править]

Полный гамильтониан атома в магнитном поле имеет вид:

где   — невозмущенный гамильтониан атома и   — возмущение, созданное магнитным полем:

Здесь   — магнитный момент атома, который состоит из электронной и ядерной частей. Ядерным магнитным моментом, который на несколько порядков меньше электронного, можно пренебречь. Следовательно,

где   — магнетон Бора,   — полный электронный угловой момент, и   — фактор.

Оператор магнитного момента электрона является суммой орбитального   и спинового   угловых моментов, умноженных на соответствующие гиромагнитные отношения: