3. Розв’язування однорідних і неоднорідних диференціальних рівнянь -го порядку зі сталими коефіцієнтами.

І. (1), . – корені. (3)

1. просте і дійсне ( ), , ,

2. - кратне і дійсне ( ): , ,…, .

3. , , , , .

4. – - кратне,

– - кратне. Тоді , , …, , , ,…, .

ІІ. Неоднорідні лінійні рівняння зі спеціальною правою частиною – це рівняння , у якого права частина – показникова функція.

, , , .

.

1. 

2. ,

,

3. , ,

Теорія ймовірності та математичної статистики

1. Класичне означення ймовірності Аксіоматика теорії ймовірностей. Ймовірності подій.

О3. (класичне означення ймовірності). Ймовірність події А називається відношення числа результатів випробування, сприятливих для події А до числа всіх рівно можливих і попарно несумісних результатів випробовування, тобто . – число елементів , – число елемент. А

Аксіоматика теорії ймовірностей. Ймовірності подій.

Нехай в стохастичному експерименті виділено простір елемент. подій і задано клас подій , в якому виконується умови

,

,

. Задано відображення , для якого

б1) ,

б2)

б3) Р(А) називається ймовірністю події А.

Властивості ймовірності:

2) ,

3)

4)

5)

– теорема додавання ймовірностей.

6)

7) 8) 9)

10)

3. Формули повної ймовірності,

Нехай задано ймовірність простору , , . Умовною ймовірністю події А за умови, що подія В відбулася, називають число

Події А і В називаються незалежними, якщо

Якщо А і В незалежні, то

Якщо події А, В – незалежні то незалежні і ; ; . Формула множення для скінченого числа подій:

Події називаються попар­но незалежними, якщо

. Події називаються незалежними в сукупності, якщо , .

Із незалежності в сукупності випливає попарна незалежність, але не навпаки.

Нехай в стохастичному експерименті розглядається деяка подія В і в цьому експерименті спостерігаються події , такі що , , . Якщо , то – формула повної ймовірності.

Дов. .

Події називаються гіпотезами відносно події В. Якщо , то є повна система гіпотез. Часто виникає необхідність переоцінити ймовірність гіпотез після того, як відбулася подія А. Це можна зробити, використовуються формули Байєса: ,

4. Функція розподілу вв та її властивості. Найпростіші числові характеристики вв

Маємо імовірнісний простір . Числова функція , , називається ВВ, якщо : . Функція називається функцією розподілу ВВ.

Властивості функції розподілу:

1. , ;

2. ;

3. ;

4. - неперервна зліва.

5. .

О1. ВВ називається дискретною, якщо вона набуває значень, які утворюють скінчену, або зліченну множину.

			…		…
Р			…		…

Цей ряд називається законом розподілу дискретної ВВ. .

О2. ВВ називається неперервною, якщо існує невід’ємна функція , така що . Функція називається щільністю розподілу ВВ, або ймовірностей.

.

Властивості функції розподілу:

1) .

2) .

Найпростіші числові характеристики ВВ

О1. Математичним сподіванням ВВ називається число за умови, що цей інтеграл збігається абсолютно.

Якщо – дискретна ВВ, то .

Якщо – неперервна, то

, якщо , – незалежні ВВ.

ВВ називається центрованою ВВ.

О2. Математичне сподівання квадрата центрованої ВВ називається дисперсією ВВ і позначається .

Якщо – дискретна ВВ, то .

Якщо – неперервна, то . .

,

, якщо , – незалежні ВВ.

О3. Моментом -го порядку відносно точки називається число , якщо існує. При .

Центральний момент -го порядку: .

, , , , ,

,

Якщо – дискретна ВВ, то .

Якщо – неперервна, то ,

Коефіцієнт асиметрії: .

Ексцес: .