Билет 9

Законы распределения непрерывных случайных величин

Закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать также, как для дискретной. Он неприменим в силу того, что нельзя перечислить все бесконечное несчетное множество значений, а вероятности каждого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равны нулю.

Для описания закона распределения непрерывной случайной величины Х предлагается другой подход: рассматривать не вероятности событий Х=х для разных х, а вероятности события Х<х. При этом вероятность P(X<x) зависит от текущей переменной, т. е. является некоторой функцией от х.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:

.

Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Необходимо определить некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины. Т. е. представить некоторую замену вероятностям p_i  для дискретной случайной величины в непрерывном случае.

Такой функцией является плотность распределения вероятностей. Плотностью вероятности(плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины Х называется функция f(x), являющаяся первой производной интегральной функции распределения:

.

Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение (распределена) с плотностьюf(x) на определенном участке оси абсцисс.

Свойства плотности распределения

            1) Плотность распределения – неотрицательная функция.

            2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - бесконечности до +беск. равен единице.

Функция распределения   обладает следующими свойствами: 

F1)  Функция распределения   не убывает:  ; 

F2)  Существуют пределы   и  . 

F3)  Функция распределения   непрерывна слева:  . 

Билет 10

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].

Определение. Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

Коэф. Ассиметрии и экцесса см. в лаб. Работе 2

Билет 11

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины   выражается формулой

(8.1)

Кривая распределения изображена на рис. 16. Она симметрична относительно точки   (точка максимума). При уменьшении   ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы (рис. 17).

числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

где - параметр данного распределения.

Функция распределения F(x) случайной величины X, распределенной по показательному закону, находится по формуле

(14)

Важнейшие числовые характеристики показательного распределения определяются равенствами:

, , . (15)

Для показательного закона распределения вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется формулой

.

Кривая распределения f (х) и график функции распределения F(х) случайной величины Х приведены на рис.5 и рис.6.  рис.5   рис.6