Понятие производной
Пусть функция определена на промежутке X.
Возьмем точку
и придадим этому значению некоторое
приращение
,
такое, что новая точка
.
Тогда значение функции изменится от
до
и приращение функции получиться
Если существует
предел отношения приращения функции
к вызвавшему его приращению независимой
переменной
,
при стремлении
к нулю, т.е.
то его называют
производной
функции
по независимой переменной x
в точке
.
В общем
случае, когда производная находится в
произвольной точке, аргумент можно не
писать. Обозначается производная
различными символами:
Итак, производная функции , при условии существовании предела, определяется по формуле:
Дифференцирование функции – это операция нахождения производной функции.
Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет конечную производную в этой точке.
Функция называется
дифференцируемой
на промежутке
,
если она
имеет конечную производную во всех
точках этого промежутка.
Сравнивая определение и содержание задач, можно сформулировать механический, геометрический и экономический смысл производной.
Механический (физический) смысл производной: скорость V точки в момент времени есть производная пути S по времени t, т.е.
Геометрический
смысл производной: угловой
коэффициент
касательной, проведенной к кривой
в точке
есть
производная
т.е.
.
Используя
геометрический смысл производной можно
вывести уравнение касательной к некоторой
кривой в данной точке. Из курса
аналитической геометрии известно
уравнение прямой, проходящей через
заданную точку с заданным угловым
коэффициентом:
.
Заменяя коэффициент k
на производную
,
получим уравнение
касательной
к кривой
в
точке
Нормалью к кривой
называется
прямая, перпендикулярная касательной
в точке касания и уравнение
нормали к
кривой
в точке
имеет
вид:
Экономический
смысл производной: производительность
труда p
в момент
времени
есть производная
объема
произведенной продукции V
по времени t,т.е.
Согласно определению, процесс отыскания производной функции в точке предполагает выполнение следующих действий:
1. Значению
дать произвольное приращение
,
тогда новое
значение аргумента окажется равным
2. Вычислив значения и , отыскать приращение функции .
3. Найти отношение
4. Найти
Пример.
Найти производную функции
в точке
Решение.
1) дадим значению
приращение
,
тогда новое
значение аргумента окажется равным
2) учитывая, что
,
а
вычислим приращение функции
3) Составляя
отношение
получаем
4) Найдем предел
Имеем:
Итак,
Рассмотрим, как связаны два важнейших свойства функции – непрерывность и дифференцируемость.
Теорема 5.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. По условию теоремы, функция дифференцируема в точке , т.е. она имеет конечную производную, а именно существует предел:
,
где
конечна
и не зависит от
.
Используя третью запись предела, имеем:
где
бесконечно
малая функция.
Выразим
(т.к.
и
при
).
Таким образом,
.
По определению непрерывности функция
непрерывна в точке
.
Теорема
доказана
Обратное утверждение
в общем случае неверно, т.е. если функция
непрерывна в какой-то точке, то она не
обязательно будет дифференцированной
в этой точке. В качестве доказательства
приведем пример функции
,
которая
непрерывна в точке
,
но не дифференцируема в этой точке.
Используя определение производной, приведем примеры дифференцирования некоторых основных элементарных функций.
Пример…
const.
Область определения этой функции
множество всех действительных чисел
.
Зафиксируем произвольную точку
.
Дадим аргументу x
в точке
произвольное приращение
,
получим
точку
Найдем значения функции в точках
и
получим
,
.
Поэтому,
а следовательно,
и
Таким образом,
Пример
…
Область определения этой функции
множество всех действительных чисел
.
Зафиксируем произвольную точку
.
Дадим аргументу x
в точке
произвольное приращение
,
получим
точку
Найдем значения функции в точках
и
получим
,
.
Поэтому,
Следовательно,
Воспользовавшись
первым замечательным пределом и
непрерывностью функции
,
окончательно получаем:
Таким образом,
