3. Понятие частных производных и дифференциала функции двух переменных

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Так как x и независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение.

1) Переменной дадим приращение , а сохраним неизменным. Частным приращением функции по переменной называется соответствующее приращение функции

2) Переменной дадим приращение , а сохраним неизменным. Частным приращением функции по переменной называется соответствующее приращение функции

3) Переменной дадим приращение , переменной дадим приращение Полное приращение функции определяется равенством

Вспомнив определение производной функции одной переменной, можно ввести понятие частных производных функции двух переменных, заменяя обычное приращение функции частным приращением.

Частной производной функции по переменной называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей переменной, когда это приращение стремиться к нулю и обозначается:

Аналогично определяется частная производная функции по переменной

Существуют и другие обозначения производной:

Из определения частных производных следует правило их нахождения.

Правило вычисления частной производной функции по переменной

1. Считать переменную постоянной величиной.

2. Вычислить используя формулы и правила вычисления производных функции одной переменной .

Для нахождения постоянной предполагается переменная .

Пример.. Найти частные производные функций:

а) б)

Решение. Применяя правила, получим

а)

б)

Дифференциал функции нескольких переменных

Пусть функция имеет непрерывные частные производные и

Частным дифференциалом по переменной x функции называется произведение и обозначается символом т.е.

Аналогично, частным дифференциалом по переменной y функции называется произведение и обозначается символом т.е.

Полным дифференциалом функции называется сумма частных дифференциалов или, сумма произведений частных производных на приращение соответствующей независимой переменной:

или

Если в формулу полного дифференциала подставить функция затем функцию получим:

Таким образом, как и случае функции одной переменной дифференциал независимой переменной совпадает с приращением этой переменной. С учетом этого, формулы для полного дифференциала примут вид:

или

Лекция 7.2. Приложения понятия частных производных

План:

1. Производная по направлению

2. Градиент функции и его применение

3. Частные производные второго порядка для функции двух переменных.

4. Экстремум функции двух переменных.

1. Производная по направлению

Пусть диффенцируемая функция двух переменных. Рассмотренные ранее частные производные от функции двух переменных являются «производными в направлении координатных осей». Например, при нахождении приращение получает переменная x, изменяясь от x до вдоль оси Ox. Целесообразно поставить вопрос об определении и вычислении производной по любому направлению.

Пусть направление движения точки плоскости будет показывать вектор где Обозначим длину вектора При этом функция получит приращение

Производной функции в точке в направлении вектора называется предел отношения при если он существует. Обозначается или То есть

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в направлении вектора. Если то функция возрастает в направлении вектора , если , то функция убывает в направлении вектора .

Механический (физический) смысл производной по направлению состоит в том, что она характеризует мгновенную скорость изменения функции в точке в направлении вектора .

Для вычисления производной по направлению функции двух переменных используют формулу:

где и направляющие косинусы, т.е. косинусы углов, образуемых вектором с осями координат.

Пример .. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке

Решение. Вычислим и Найдем значения этих производных в точке : Найдем координаты вектора Вычислим направляющие косинусы вектора Для вычисления производной функции по направлению подставим полученные выражения в формулу: