2. Непосредственное интегрирование
Из таблицы производных и определения неопределенного интеграла несложно получить таблицу интегралов:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для проверки всех формул этой таблицы достаточно установить, что производная правой части равенства совпадает с подынтегральной функцией левой части.
Рассмотрим,
например, формулу
.
Для ее
доказательства вычислим
что и
требовалось доказать.
Интегралы, содержащиеся в таблице, принято называть табличными.
Одним из простейших методов интегрирования является метод непосредственного интегрирования.
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование-метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Пример 7.1.
Вычислить
Решение. Применим свойства 4 и 5 и таблицу интегралов, получаем
Необходимо обратить внимание, что ставить произвольную постоянную после вычисления каждого интеграла не следует: обычно все произвольные постоянные суммируются и результат, обозначенный одной буквой С, записывается сразу в окончательный ответ.
Пример 7.2.
Вычислить
Решение. Применим свойства 4 и 5 и таблицу интегралов, получаем
Далеко не всякий интеграл можно вычислить путем непосредственного интегрирования на основании свойств интеграла и таблицы.
3. Основные методы интегрирования
К основным методам интегрирования относятся: метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
Метод замены переменной (метод подстановки)
1. Метод подведения по знак дифференциала – частный случай метода замены переменной. Данный метод прост и применяется в большом количестве интегралов.
В основе данного метода лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое гласит: если то где произвольная дифференцируемая функция от x.
Рассмотрим один
из табличных интегралов
По свойству 6 эта формула остается
справедливой не только в случае, когда
x
–независимая переменная, но и тогда,
когда вместо x
стоит некоторая дифференцируемая
функция. Например,
Аналогичная ситуация имеет место и для других формул:
Пример 7.3.
Вычислить интеграл
Решение.
Что мешает применить степенной интеграл
(1) для
Понятно, что если бы под знаком
дифференциала стояло выражение
,
а не x,
то такой интеграл был бы табличным.
Вопрос: возможно ли заменить
на
Ответ – да, по свойству дифференциала:
На основании этого свойства
Значит,
Пример 7.4.
Вычислить интеграл
Решение.
Для применения табличной формулы
степенного интеграла при
необходимо, чтобы под знаком дифференциала
стояло выражение
вместо x.
Вопрос: возможно ли заменить
на
Ответ– да, по свойству дифференциала:
или
На основании
свойств дифференциала
.
Следовательно
В
рассмотренных выше примерах дифференциал
изменялся на основании его свойств,
т.е. вместо
под знак дифференциала подводилась
некоторая линейная функция вида
,
где
и
некоторые
числа, причем
.
Обобщим это в виде теоремы.
Теорема 8.2.
Пусть
одна
из первообразных для
.
Тогда
где
и
некоторые
числа, причем
.
Доказательство. Для доказательства равенства возьмем производную от правой части формулы(..) и покажем, что она равна подынтегральной функции:
Теорема
доказана.
При сведении интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала – «подведение под знак дифференциала».
Пример 8.1.
Найти интегралы а)
б)
Решение. а) Подведем функцию под знак дифференциала. Имеем:
б) Подведем
функцию
под знак дифференциала. Имеем:
Итак, цель метода подведения под знак дифференциала состоит в видоизменении дифференциала, стоящего под интегралом, за счет использования свойств дифференциала.
2. Метод подстановки или метод замены переменной. Суть этого метода заключается в том, путем введения новой переменной интегрирования удается вести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительной легко вычисляется непосредственно. Метод замены переменной основан на следующей теореме.
Теорема 8.3.
Пусть функция
определена и дифференцируема на
промежутке
.
Тогда если
первообразная для
на
,
то выполняется равенство
Даная теорема называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Замечание 1. В
практике интегрирования применяются
подстановки вида
,
т.е. новая переменная интегрирования
вводится как некоторая функция переменной
х.
Замечание 2. При нахождении интеграла методом замены переменной необходимо в полученном после интегрирования результате обязательно вернуться к старой переменной.
Пример 8.3.
Найти интеграл
Решение.
Введем новую переменную
Такая замена обусловлена попыткой
избавиться от корня в знаменателе
подынтегрального выражения.
Теперь
необходимо перейти к старой переменной
x.
Для этого в последнее выражение подставим
окончательно
имеем
Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл и свести его к табличному. Полезно запомнить следующие подстановки:
Число замен, которые могут быть применены при вычислении неопределенных интегралов велико и, конечно, обо всех рассказать не представляется возможным.
Метод интегрирования по частям
Пусть функции
и
имеют непрерывные производные на
промежутке
Найдем дифференциал произведения этих функций:
Поэтому, получим
или
Проинтегрируем обе части последнего равенства, получим
,
по свойству неопределенного интеграла ?номер
Эта формула
называется формулой
интегрирования по частям
и составляет основу метода интегрирования
по частям. Суть данного метода состоит
в том в том, что при нахождении интеграла
подынтегральное выражение
представляют в виде произведения
множителей
и
,
при этом
обязательно входит в
.
Затем находят интегралы
и
Естественно, что этот метод применим
лишь в случае, если задача нахождения
указанных интегралов более проста, чем
задача нахождения заданного интеграла.
Пример 8.5.
Найти интеграл
Решение. Применим к данному интегралу формулу интегрирования по частям, для этого за u обозначим x, а все остальное за . Получим
Заметим, что при нахождении v достаточно найти какую-нибудь одну из первообразных. Удобно считать C=0.
Замечание.. Интегрирование по частям можно применять последовательно несколько раз в одном и том же примере.
Замечание. При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального выражения на множители и .
Замечание. Существуют целые классы интегралов, которые вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям. Приведем ряд интегралов, которые находятся этим методом.
Рассмотрим интеграл
вида
Пусть
многочлен
степени n,
а
одна
из следующих функций:
т.е.
(
число).
Рекомендуют
положить
и применить метод n
раз.
Пример 8.6.
Вычислить
Решение.
Пусть
многочлен
степени n,
а
одна
из следующих функций:
т.е.
.
Рекомендуют
положить
Пример 8.7.
Вычислить
Решение.
3.
Пусть
,
а
одна
из следующих функций:
т.е.
.
Возможно любое разбиение, при этом формула интегрирования по частям будет применяться дважды. Затем получим уравнение, в котором в качестве неизвестного выступает вычисляемый интеграл.
Лекция 8.2. Интегрирование некоторых элементарных функций
План:
1. Интегрирование рациональных функций.
2. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
3. «Неберущиеся» интегралы.