25) Понятие первообразной функции. Основные свойства первообразной.

Функция F (х) называется первообразной функцией для данной функции f (х) (или, короче, первообразной данной функции f (х)) на данном промежутке, если на этом промежутке. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Свойства:

1)Первообразная суммы равна сумме первообразных

2)Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

3)Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции является непрерывность на этом отрезке

4)Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу

5)У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

26) Понятие неопределенного интеграла, его свойства.

Неопределённый интегра́л для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Свойства:

I. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная интеграла равна подынтегральной функции (это свойство непосредственно вытекает из определения интеграла). Таким образом, имеем

d∫f(x)dx=f(x)dx и [∫f(x)dx]'=f(x).

II. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

∫dF(x)=∫F'(x)dx

Функция F(x), очевидно, является первообразной для F'(x). Поэтому имеем

∫dF(x)=F(x)+C

III. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. если постоянная A≠0, то

∫dF(x)=∫F'(x)dx

IV. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций

∫[f(x)+g(x)-h(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx-∫h(x)dx

27) Общие методы интегрирования.

Наиболее важными методами интегрирования являются:

1) метод непосредственного интегрирования (метод разложения),

2) метод подстановки (метод введения новой переменной),

3) метод интегрирования по частя.

I. Метод непосредственного интегрирования (метод разложения),

Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов.

II. Метод подстановки (интегрирование заменой переменной)

Если функция x=φ(t) имеет непрерывную производную, то в данном неопределенном интеграле ∫f(x)dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt

Затем найти интеграл из правой части и вернуться к исходной переменной. При этом, интеграл стоящий в правой части данного равенства может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным. Такой способ нахождения интеграла называется методом замены переменной.

III. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирование по частям основан на следующей формуле:

∫udv=uv-∫vdu

где u(x),v(x) –непрерывно дифференцируемые функции. Формула называется формулой интегрирования по частям. Данная формула показывает, что интеграл ∫udv приводит к интегралу ∫vdu, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.