5. Полный дифференциал функции. Функции 2-х переменных

Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений её аргументов . Полный дифференциал функции (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов и вычисляется по формуле:

При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов, полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом. Дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у совпадают с их приращениями соответственно . Таким образом,

6. Частные производные высших порядков. Функции двух переменных

Частные производные функции двух переменных z=f(x,y) являются функциями переменных x и y. Поэтому их снова можно дифференцировать. Так как каждую функцию z_x^/ и z_y^/ можно дифференцировать по x и y, то производных второго порядка будет четыре. Результат дифференцирования по x обозначается через , а результат дифференцирования по y через . Производная обозначает двукратное дифференцирование функции z=f(x,y) по y.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать по x или по y.

Частная производная n-го порядка, есть первая производная от производной (n-1)-го порядка.

7. Градиент функции трех переменных

Рассмотрим функцию трех переменных И = F(X, у, Z), дифференцируемую в некоторой точке M(X, Y, Z).

Определение 1. Градиентом функции И = F(X, У, Z) называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным в точке М.

Для обозначения градиента функции используется символ

Аналогично в случае функции двух переменных И = F(X, У) Имеем

Градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

Для определения геометрического смысла градиента функции введем понятие поверхности уровня.

8. Производная функции направления

производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим