5) Коло перетворюється у рівне коло.

Побудова образу прямої при осьовій симетрії здійснюється шляхом відшукання образу її довільної точки та проведенні через неї прямої, що проходить через точку перетину заданої прямої з віссю симетрії (якщо така існує) або паралельно до заданої прямої у випадку, коли вона паралельна до осі симетрії. Побудова образу кола зводиться до відшукання образу його центра та проведенні кола, радіус якого дорівнює радіусу заданого кола.

Поворот. Означення. Властивості.

Розглянемо на площині деяку точку та орієнтований кут , тобто кут із вказаним на ньому напрямком повороту однієї сторони кута до суміщення з другою найкоротшим шляхом. Поставимо у відповідність довільній точці точку таку, що та орієнтовані кути та рівні (рис. 4). У цьому випадку кажуть, що точку одержали в результаті повороту точки навколо точки на кут . Точці при цьому поставимо у відповідність цю саму точку. Ми одержали перетворення площини, яке називають поворотом навколо точки на кут та позначають .

Крім центра повороту та кута, дане перетворення можна задавати двома парами відповідних точок, якщо останні задовольняють наступну умову: відрізки, що сполучають вибрані точки та їх образи, рівні та не паралельні.

Справді, нехай при деякому відображенні точка переходить у точку та точка відображається у точку , причому і відрізки та не паралельні (рис. 5). Проведемо серединні перпендикуляри та до відрізків і та позначимо точку їх перетину через (така точка існує, оскільки відрізки, а, отже, і серединні перпендикуляри, проведені до них, не паралельні). Очевидно, що та . Із рівності трикутників та (вони рівні за трьома сторонами) випливає, що . Позначимо . Тоді , тобто перетворення, яке ми розглядаємо, є поворотом навколо точки на кут . Можна довести, що таке перетворення єдине.

Д ане твердження буде вірним і у випадку, коли та дані відрізки паралельні і протилежно напрямлені. Центром повороту тут буде точка перетину відрізків та , а кутом повороту буде кут (рис. 6). Цей частинний випадок повороту є центральною симетрією, яку ми детальніше розглянемо дальше. Випадок перетворення, коли і дані відрізки паралельні та однаково напрямлені є паралельним перенесенням.

При повороті:

1) зберігаються відстані між точками, тобто поворот є рухом;

2) пряма відображається на пряму, а паралельні прямі переходять у паралельні. Відстані між парами цих паралельних прямих рівні;

3) відрізок переходить у рівний відрізок, а точка, що ділить відрізок у деякому відношенні, переходить у точку, яка ділить образ відрізка у такому ж відношенні. Точка, яка є серединою відрізка, переходить у точку, яка теж є серединою образа відрізка;

4) кути переходять у рівні так само орієнтовані кути. Перпендикулярні прямі переходять у перпендикулярні прямі.

5) Коло перетворюється у рівне коло.

П обудову образу прямої при повороті навколо точки на кут можна здійснити наступним чином. Опустимо з центра повороту перпендикуляр на задану пряму (ми не розглядаємо тривіальний випадок, коли пряма проходить через центр повороту) та повернемо відрізок навколо точки на кут . Нехай ми отримали при цьому відрізок . Пряма, проведена перпендикулярно до відрізка у точці , є шуканою (рис. 7).

Зрозуміло, що побудову повернутої прямої можна також здійснити, знайшовши образи двох довільних точок заданої прямої.

Для відшукання образу кола при повороті спочатку знаходять образ його центра і тоді будують коло такого ж радіуса з центром в одержаній точці.