Процессы размножения и гибели

Рассмотрим Марковский процесс, описывающий систему с графом состояний следующего вида:

 

Рисунок 4. Процесс размножения и гибели

Здесь число состояний может быть как конечным, так и счетным. Эти процессы получили название «процессов гибели и размножения». В случае конечного числа состояний стационарные или предельные вероятности существуют при любых значениях параметров m_i и l_j. В случае счетного числа состояний, для существования этих вероятностей необходимо и достаточно выполнение следующего условия:

ряд    сходится.

Для такого процесса предельные вероятности, в случае, когда они существуют, могут быть найдены по формулам

(2.14)             

 

Пример 10. В комнате учреждения работают три сотрудника, каждый из них пользуется телефоном в среднем 1 раз в час, а средняя продолжительность одного разговора – 6 минут. Считая, что время разговора – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению, а поток звонков  простейший, определить долю времени, в течение которого занят телефон.

Решение. Задано мат. ожидание с.в. x: Мx=1×1=1. Т.к. происходит слияние трёх простейших потоков, суммарная интенсивность пользования телефоном равна l=3×1=3. Так же задано мат. ожидание с.в. h: Мh=1/m=1/0,1=10 (единицы измерения должны быть одинаковые, поэтому перевели 6 минут в часы). Граф такой системы изображён на рисунке 5, это система размножения – гибели. Найти надо  .

Рисунок 5.

Т.к. число состояний конечно, предельные вероятности существуют. Найдём их по формулам (2.14):

Предельные вероятности состояний для непрерывной марковской цепи. Пусть имеется физическая система S={S₁,S₂,…S_n}, в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Предположим, что_ij=const, т.е. все потоки событий простейшие (стационарные пуассоновские). Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнения при заданных начальных условиях, мы получим p₁(t), p₂(t),… p_n(t),   при любом t. Поставим следующий вопрос, что будет происходить с системой S при t. Будут ли функции p_i(t) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными вероятностями состояний. Можно доказать теорему: если число состояний S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. Предположим, что поставленное условие выполнено и предельные вероятности существуют   (i=1,2,…n),  . Таким образом, при t в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим. Смысл этой вероятности: она представляет собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Для вычисления p_i в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными 0. Систему получающихся линейных алгебраических уравнений надо решать совместно с уравнением  .