4. Уравнение Шредингера.

    Уравнение Шредингера — основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее динамику частиц. Предложено Э. Шредингером в 1926 г. Состояние классической частицы в любой момент времени описывается заданием ее координат и импульсов (x,y,z,p_x,p_y,p_z). Зная эти величины в момент времени t, можно определить эволюцию системы под действием известных сил во все последующие моменты времени. Координаты и импульсы частиц сами являются величинами, непосредственно измеряемыми на опыте. В кван­то­вой физике состояние системы описывается волновой функцией ψ(x,y,z,t). Т. к. для квантовой частицы нельзя одновременно точно

определить значения ее координат и импульса, то не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории, можно определить только вероятность нахождения частицы в данной точке в данный момент времени, которая определяется квадратом модуля волновой функции

W ~ |ψ(x,y,z,t)|².

    Эволюция квантовой системы в нерелятивистском случае описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера

где ψ(x,y,z,t) - волновая функция,   - оператор Гамильтона (оператор полной энергии системы).      В нерелятивистском случае

где m - масса частицы,   - оператор импульса,  (x,y,z,t) - оператор потенциальной энергии частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике это значит определить значение волновой функции в каждый момент времени в каждой точке пространства. Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же роль, как и второй закон Ньютона в классической механике.     В стационарном состоянииΨ (x, y, z, t) = ψ(x, y, z)e^-iEt/ћ.

Так как вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(x, y, z, t )|² , то в данном случае она ~ |ψ (x, y, z)|², т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, т.к. выражается через квадраты модулей волновых функций.     Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенцииальная энергия частицы явным образом не зависит от времени, имеет вид

ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z).

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.     Одна из специфических особенностей квантовых систем состоит в том, что энергетические спектры частиц, находящихся в ограниченном объеме пространства дискретны.

5. Одномерная потенциальная яма с бесконечно-высокими стенками.

Частица не может покинуть область размером L. Она движется в этой области, испытывая многократные отражения от стенок. С волновой точки зрения между стенками во встречных направлениях движутся две волны де Бройля. Это напоминает картину двух встречных волн, бегущих по струне с закрепленными концами. Как и в случае струны, стационарным состояниям соответствуют стоячие волны, которые образуются при условии, что на длине L укладывается целое число полуволн:

L = n · (λ / 2)   (n = 1, 2, 3, ...)

Таким образом, стационарным состояниям частицы, запертой в потенциальной яме, соответствует дискретный набор длин волн. Поскольку в квантово-механическом случае длина волны λ однозначно связана с импульсом частицы: λ = h / p, а импульс частицы определяет энергию ее движения: E = p² / (2m) (нерелятивистское приближение), то квантованной оказывается и энергия частицы. Квантово-механический расчет приводит к следующему выражению:

Здесь m – масса частицы, h – постоянная Планка, E₁ = h² / (8mL²) – энергия наинизшего состояния.

Следует обратить внимание, что квантово-механическая частица в отличие от классической не может покоиться на дне потенциальной ямы, то есть иметь энергию E₁ = 0. Это противоречило бы соотношению неопределенностей

Δx · Δpx ≥ h.

Действительно, у покоящейся частицы импульс строго равен нулю, следовательно, Δp_x = 0. В то же время неопределенность координаты частицы Δx ≈ L. Поэтому произведение Δx · Δp_x у частицы, лежащей на дне потенциальной ямы, должно было бы равняться нулю.

Соотношение неопределенностей позволяет сделать оценку минимальной энергии E₁ частицы. Если принять, что в состоянии с минимальной энергией p_x ≈ Δp_x, то для минимальной энергии E₁ получается выражения

Эта грубая оценка дает правильное по порядку величины значение E₁.