Типичные задачи

Задание 1

.Найдите равновесие в чистых стратегиях, или докажите, что его не существует, для антагонистической игры, заданной платежной матрицей

3	5	-2	-7
0	-2	3	5
1	-3	1	-2

Задание 2

Найдите равновесие в смешанных стратегиях и значение игры.

0	1
2	-2

Задание 3

Автомобилист может проехать из деревни Ольховка в деревню Петровка по одной из двух дорог: А и Б. Дорога А короче, чем Б, но проходит через мост, который может быть закрыт на ремонт. Издержки автомобилиста в зависимости от стратегии автомобилиста и ситуации на мосту приведены в таблице:

	Мост открыт	Мост закрыт
Выбрал дорогу А	3	14
Выбрал дорогу Б	13	12

Найдите смешанную оптимальную стратегию автомобилиста, минимизирующую его издержки. Найдите стратегию, оптимальную по критерию Сэвиджа.

Задание 4

Частный предприниматель должен сделать закупку товара (зонтов и солнцезащитных очков) на сумму 70 тыс. руб. Прибыль предпринимателя зависит от выбранной им стратегии и преобладающей погоды и задана платежной матрицей:

Товар Погода	солнце	дождь
зонты	-1	2
солнцезащитные очки	1	-2

На какую сумму предприниматель закупит каждого товара?

Ответ: Предприниматель потратит по 35 тыс. руб. на зонты и солнцезащитные очки.

Задание 5

Вариант 1. Оценочная функция задана уравнением f(x,y)=x²+y-1.6xy, где x принимает значения 1,2,3 в зависимости от выбора альтернативы, y принимает значения 0,1,2 в зависимости от состояния среды. Составьте платежную матрицу и найдите альтернативы

1) оптимальные по критерию Лапласа;

2) оптимальные по критерию Вальда;

3) оптимальные по критерию Сэвиджа;

4) оптимальные по критерию Гурвица с показателем пессимизма α=0.7

5. Оптимальные в смешанных стратегиях.

Как изменится выбор оптимальной альтернативы по каждому из названных критериев, если а) умножить функцию выигрыша на постоянное число k=2; б) прибавить к значениям функции выигрыша постоянное число c=3?

Задание 6

Вариант 1. Найти все стратегии (чистые и смешанные), равновесные по Нэшу, в биматричной игре, выигрыши в которой заданы таблицей 1. Найдите исходы, эффективные по Парето.

Табл. 1

1; 1	0; 2
0; 2	2; 1

Задание 7. Типовой расчет

Экономика состоит из двух агентов, совершающих добровольный обмен на наборах из двух товаров A и B. Функции полезности 1 и 2 агентов заданы уравнениями

, , где - количество товара A у агента i , - количество товара B у агента i. Суммарные количества товаров A и B ограничены: , где - положительные константы. Первоначально 1 агент владеет товарами A и B в количествах соответственно, причем . Агент 2 владеет оставшимися количествами товаров. Агенты вступают в добровольный обмен, увеличивающий их полезности. Решениями называются наборы товаров, поступающих в распоряжения каждого из агентов после обмена. Предполагается, что трансакционные издержки равны нулю, информация совершенна.

Задание.

1. В модели Эджуорта найти контрактную кривую, точку угрозы, переговорное множество;

2. В системе координат найти уравнение, связывающее полезности агентов для решений, оптимальных по Парето;

3. В той же системе координат построить кривую оптимальных по Парето решений, найти точку угрозы, переговорное множество;

4. Найти арбитражное решение (решение Нэша);

5. Найти количества товаров A и B, которыми должны владеть агенты согласно арбитражному решению;

6. Показать, что для любого решения, не лежащего на контрактной кривой, найдется решение, которое доминирует егое по Парето.

Значения констант для каждого из 10 вариантов приведены в следующей таблице в соответствующей строке.

№ варианта	α	a	b	k1	k2	x0	y0
1	1/3	8	27	2	3	0	27
2	2/3	64	27	1	2	27	8
3	1/2	25	100	2	1	16	36
4	1/4	16	81	3	4	16	0
5	1/2	100	169	1	2	64	25
6	1/3	27	8	3	2	27	0
7	2/3	8	64	2	3	1	27
8	1/2	100	25	4	3	64	9
9	1/4	81	256	1	1	16	225
10	1/2	169	25	3	4	144	9

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основная литература

1. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие для студ. высш. учеб. Заведений /Е.В. Бережная, В.И. Бережной. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005 – 432 с.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология: Учеб. пособие для студ. вузов /Е.С. Вентцель. – 3-е изд, стер. – М.: Дрофа, 2004 – 208 с.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство "ДИС", 1998. – 368 с.

4. Лабскер Л.Г., Н.А. Ященко Теория игр в экономике: (практикум с решениями задач): [учеб. пособие для студ.] – М.: КНОРУС, 2012. – 259 с..

Дополнительная литература

1. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр – М.: "Наука", 1981.

2. Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. – М.: Наука. 1990

3. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. – М.: "Наука", 1976.

4. Жуковский В.И. Кооперативные игры и их приложения./Под ред. В.С. Молоствова. – М.: Эдиториал УРСС, 1990

5. Зенкевич Н.А., Петросян Л.А., Янг Д.В.К. Динамические игры и их приложения в менеджменте: учебное пособие. – СПб.: Изд-во «Высшая школа», 2009. – 415 с.

6. Нейман, Джон фон, Моргенштерн, Оскар Теория игр и экономическое поведение. – М.: "Наука"., 1970.

7. Мулен. Э. Теория игр с примерами из математической экономики. – М.: Мир., 1985

8. Оуэн.Г. Теория игр. – М.: Мир, 1971

9. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. Учебное пособие. – М.: Книжный дом "Университет", Высшая школа, 2002. – 288 с

10. Скаржинская Е.М., Илюхина А.С., Метелькова К.С. Теория игр: конспект лекций с методическими указаниями: учебное пособие. – Кострома, КГУ им Н.А. Некрасова, 2009. – 90 с.

11. Шагин В.Л. Теория игр с экономическими приложениями. Учебное пособие. Москва, ГУ-ВШЭ, 2003

12. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений / пер с англ.; под ред. чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой. - М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997.

МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

1. Электронный вариант лекций по темам: “ Задача линейного программирования ”, “Детерминированные сетевые модели календарного планирования ”.

2. Компьютерные аудитории, в которых установлена программа AST-test, служат для промежуточного контроля знаний.

3. Ноутбук и проектор в лекционной аудитории позволяют использовать имеющиеся презентации для изложения теоретического материала.

Автор Скаржинская Е.М

Рецензент(ы) Староверов Б.А., д.т.н., профессор

Программа одобрена на заседании УМК факультета (института)

от ___________ года, протокол № ________.

15