6.Криволинейные интегралы.

Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.

7.Криволинейные интегралы второго рода.

Введем векторную функцию F{P,Q} , определенную на кривой Г, так, чтобы для скалярной функции

F*l=PcosA+Qcosb, тогда существует интеграл – Криволинейный интеграл второго рода обозначаемый ∫Pdx+Qdy.

2)Линейность - ∫(f(xy)+g(xy))dl=∫f(xy)dl+∫g(xy)dl

3)Аддитивность - ∫{ac}f(xy)dl+∫{cb}f(xy)dl=∫{ab}f(xy)dl;

8.Формула Грина.

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей A, задана непрерывная векторная функция

A=P(x;y)+Q(x;y) тогда справедлива формула Грина.

которая показывает что кривая С является замкнутой и обход вдоль этой кривой производится против часовой стрелки.

9.Условие независимостри Криволинейного интеграла от формы пути интегрирования. Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция u=u(x,y,z);

10.Дифференциальные уравнения определение.

Уравнение вида F(x;y;y’)=0. (1);

y-искомая функция х-независимая переменная у’-ее производная. Данная функция называется дифференциальным уравнением первого порядка, т.к y'- производная первого порядка.

Решением дифф уравнений 1.2.3 называется функция у=f(x) где х[A;B]

Которая при подстановке в уравнения обращает его в тождество.

Общим решением дифф уравнений первого порядка y’=f(x;y) называется решение fi(x;c); зависящее от Х и прозвольной постоянной С если при любых начальных условиях существует единственное значение const с=с0 y=fi(x;fi0); является решением уравнения (2) с условием y(x0,C0)=y0

Частным решением дифф уравнения 2 называется функция y=f(x;C0) получаемая из общего решения f(x,C) при определении С=С0;

Дифф уравнения с разделяющимися переменными.Задачи Коши.

Дифференциальные уравнения вида y’=f1(x)*f2(y) где f1(x) f2(y) данные непрерывные функции отдельных переменных (x;y) называется дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.

Задачи Коши.

Задачи Коши для дифф уравнения y’=f(x;y) с начальным условием y(x0)=y0 называется нахождение решения уравнения 4 удовлетворяющее начальному условию.

11.Линейные дифференциальные уравнения. Дифф уравнения вида y’=p(x)y=f(x) где p(x),f(x) данные функции называются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Если f(x)=0 то уравнение однородное при f(x)!=0 неоднородное. Методы решения через UV. Решается через замену y=UV y’=U’V+UV’ далее разбиваем уравнение на систему.

12.Уравнение Бернулли.Дифф уравнение вида y’+p(x)y=Q(x)*y^n n!=0,1 где P(x) и Q(x) данные непрерывные функции а y(x) искомая функция а y’(x) ее производная n=0,1 это просто линейное уравнение

Способы решения. Также как для линейного уравнения делаем замену.

13.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Функция f(x;y) называется однородной функции n-го измерения если для любого лямбда справедливо f(лямбда*х;лямбда у)=лямбда^n*f(x;y). Дифф уравнение 1го порядка называется y’-f(x;y) однородным относительно x;y если f(x;y) однородная функция O-измерения y’+p(x)y =0 однородное уравнение.

14.Дифф уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение вида P(x;y)dx+Q(x,y)dy=0 если DP/DU=DQ/DX называется уравнением в полных дифференциалах.

Значит F(x;y) dF=(dF/dx)*dx+(dF/dy)*dy=Pdx+Qdy=0 F(x;y)=C;

15.Дифф уравнения неразрешенные относительно производной.

F(x;y;y’)=0 (1); x-независимая переменная y- искомая функция y’- производная.

Найдем достаточные условия существования этого уравнения если это уравнение удается относительно y’ то получим 1но или несколько уравнений в общем виде y’=f(k)(x;y) k=1,2,3…

16.Уравнение Лагранжа и Клеро.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида.

X*fi(y’)+y*psi*(y’)=X(y)

Где фи,у,Х некоторые известные функции. Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных х и у. Такое дифференциальное уравнение приходиться решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра y’=p.

Уравнение Клеро. – частный случай уравнения Лагранжа y’=xy’+psi(y’); Далее фото.