2.Числовые множества

N={1; 2; 3; ...; n; ... } — множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2; ...; n; ... } — множество целых неотрицательных чисел;

Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} — множество целых чисел;

Q={m/n:    mZ,nN} — множество рациональных чисел.

R—множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

N Z Z Q R.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... — рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррационалъными.

3.Числовые промежутки. Понятие окрестности точки.

Пусть E⊆R , a и b - действительные числа.

Множество [a,b] - множество таких x, что a≤x≤b  называют отрезком [a,b]={x∣a≤x≤b} .

А множество (a,b)={x∣a<x<b} , где a,b∈R  интервалом действительной оси.

Множества [a,b)={x∣a≤x<b} , (a,b]={x∣a<x≤b}  называют полуинтервалами (или полуотрезками). Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют еще промежутками.

<a,b> - промежуток с концами в точках a и b.

Интервал U(a,δ)=(a−δ,a+δ)  с центром в точке a называют окрестностью в точке a, радиусом δ илиδ-окрестностью в точке a (a∈R ).

Очевидно, что запись x∈U(a,δ) :

∣x−a∣<δ , при a∈R 

x>δ, при  a=+∞ 

x<−δ , при  a=−∞ 

Геометрически очевидно, что для любых 2-х окрестностей U(a,δ1) и U(a,δ2) можно найти окрестностьU(a,delta), которая содержится в каждом из них. Для этого достаточно взять:

δ≤min{δ1,δ2}  при a∈R 

δ≥max{δ1,δ2}  при a=+∞ 

Для любых 2-х различных точек a и b можно найти их непересекающиеся отрезки. Так, например, при δ<(∣a−b∣)/2  окрестности с центрами в точках a и b не пересекаются:

U(a,δ)⋂U(b,δ)=⊘ .

4.Понятие функции. Способы задания функции. Основные характеристики функции

Определение функции

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у, где переменная х- независимая переменная или аргумент и переменная у- зависимая переменная

Способы задания функций

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций. Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством. При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции. Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента. Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом. Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции. Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде. Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно. Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания. Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений. Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r. Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q - r=q Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

Основные свойства функции. 1. Четность и нечетность Функция называется четной, если – область определения функции симметрична относительно нуля – для любого х из области определения f(-x) = f(x) График четной функции симметричен относительно оси 0y Функция называется нечетной, если – область определения функции симметрична относительно нуля – для любого х из области определения f(-x) = –f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат. 2.Периодичность Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т). График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. 3. Монотонность (возрастание, убывание)

Пример: Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2). Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2). 4. Экстремумы Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) f(Xmax). Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции. Хmax – точка максимума Уmax – максимум Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin). Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции. Xmin – точка минимума Ymin – минимум Xmin, Хmax – точки экстремума Ymin, Уmax – экстремумы. 5. Нули функции Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.